CHAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS /jOS

A étant une fonction bornée pour les valeurs de x voisines de o. On conclura, par exemple, de cette formule que la limite, pour X = o, de

I H- o.xY — e" I

ou la limite pour m infini de

;n^ ( I H ) — me" \ m — -

m est

Les exemples qui précèdent sufllsent à faire comprendre l'usage des méthodes qui ont été expliquées dans ce numéro ; il convient de rapprocher de ces méthodes les résultats suivants, relatifs aux fonctions exponentielle et logarithmique, que l'on a étabUs aux jjos 191 192.

Quelque soit le nombre positif/?, on a en supposant que x ne prenne que des valeurs positives

lim. (x" e— ^) = o, lim. (x - " e'') = -i- qo , lim. [x'^ e^ j = ^ »^.,

X=: 00 a; :=; co X ^= o

lim. (x" log x) = O, lira. (j'~" log a-) = o.

X = o X = ao

Pour des valeurs négatives de x, on aura en supposant toujour-s n positif, mais égal soit à un nombre naturel, soit à une fraction irréductible dont le dénominateur est impair,

lim. (x" e— ■'•) = H- co , lim. \a-" e^j = o.

La formule lim. {x~" log x) =o, par exemple, permettra au lecteur

a; = oo

de reconnaître que la série

(log2)«'^(log3)"+'-- ~^ {logp)-

est toujours divergente ; il suffit pour cela de la comparer à la série divergente

et de constater, (n° 130), que le rapport du terme de rangp — i dans la première au terme de même rang dans la seconde, rapport qui est l'inverse de

-* [log p)-=[p n logj

augmente indéfiniment avecyj.

Lorsque x tend vers o par valeurs positives, l'expression a?^ tend vers I, puisque son logarithme, dans les mêmes conditions tend vers o.

Les méthodes et les résultats qu'on vient d'exposer sont d'un usage courant ; bien que les règles que je vais expliquer, relatives à la recherche de la limite d'une fraction dont les deux termes s'annulent ou deviennent infinis pour une même valeur de x soient d'un usage moins fréquent, elles ont cependant quelque intérêt par elle-même ; avant de les établir, je démontrerai d'abord un lemme,

234. — Soit/(j:) une fonction admettant une dérivée f'{x) à l'intérieur de l'intervalle (a, x^), où l'on suj)pose a <ix^, et telle que, pour les valeurs de x intérieures à cet intervalle, on ait

lim. j / (x) I = + co ;

il existe une suite infinie de nombres ^j, 'ê.^, .,., '^n, •.-, tous intérieurs à cet intervalle et tels que l'on ait

lim. ^n = a^i» hm. | /' (|„j | = + go.

Soient en effet A un nombre positif quelconque, a et x deux nombres quelconques intérieurs à l'intervalle [a, x^), on aura