CTFAPITRE VI. ÉTUDE DES FONCTIONS V

en désignant par ^ un nombre compris entre a et./j ; pour cpie l'on ait I /' (ç) I >■ A, il suffit de clioisir x de façon que Ton ait

l/(-)l>l/Wl-H--'-'-|A.

ce qui est certainement possible, puisque | /(cr;) | grandit indéfiniment quand x- s'approche de £C,. Désignons maintenant par Aj, A^, ..., A„, ,.. une suite de nombres positifs telle que l'on ait

lim. A,, = -H GO ; par a^, a.>, ..., a,„ ... une suite de nombres in-

térieurs à l'intervalle (a, a7j) tels que l'on ait lim a„ = a^i ; désignons

enfin par ç„, le nombre ^ déterminé comme on vient de l'expliquer en prenant a = an, A = A„ ; on aura

ces inégalités et les hypothèses faites sur les suites dont «„ et A„ sont les it'' termes mettent en évidence la vérité de la proposition énoncée. 11 est bien clair que si, à l'intérieur de l'intervalle [a, a',), la dérivée /' {x) est soit toujours croissante, soit toujours décroissante, on aura, pour les valeurs de x intérieures à cet intervalle, soit lim. /' (jî) = + 00 , soit lim. /' (a;) =: — oo.

Il est clair aussi qu'on aurait un théorème analogue pour le cas 011 la fonction/ [x) augmenterait indéfiniment, en valeur absolue, quand x tend vers x^ par des valeurs plus grandes que x^ .

235. — Les règles que j'ai maintenant en vue concernent larecherche de la vraie valeur d'une fraction-'— 7^ dont le numérateur

? Or)

et le dénominateur s'annulent ou deviennent infinis pour une

même valeur de x.

Plaçons-nous d'abord dans le premier cas, et supposons que les

fonctions y (.c), (P [x) soient nulles pour x =^ a, que ce nombre a

appartienne à un intervalle [p, q) dans lequel les fonctions /'(.r),

ç) {x) admettent des dérivées /' {x), d [x], dans lequel enfin les

fonctions ç [x], ©' [x] ne s'annulent pas, sauf pour x = a.

f' { »^ Dans ces conditions, je vais montrer que, si le rapport •^ry:.'!:

tend vers une limite l lorsque x tend vers a par des valeurs appar-

lNTRODUCTIO?(r A LA THEORIE DES FOT^CTIONS

tenant à Tintervalle {p, q), le rapporr— W tendra aussi vers cette limite.

Si, en effet, le rapport "^--V ^ tend vers /, à chaque nombre positif £ correspondra un nombre positif vj, tel que l'on ait

cp' {x)

sous la condition que x appartienne à l'intervalle {p, q) et que l'on ait

o <\ X — a \ <C-ri.

Pour ces mêmes valeurs de x, on a

9 [x) tf {x) — 'f (a) o' {t) '

5 étant un nombre compris entre a? et a et satisfaisant donc aux inégalités o ■< | ^ — a | <; -^ : on aura par conséquent

Cf [x)

.fil)

ainsi, à chaque nombre positif s correspond un nombre positif y; tel que les inégalités o <i \ x — a | <; vj entraînent l'inégalité

O ix)

en supposant toujours que x appartienne à l'intervalle {p, q). C'est dire qpe lorsque x tend vers a, le rapport -^-V { tend vers l.

On ne peut pas conclure de la démonstration précédente que,

f (x) réciproquement, si le rapport''— -r-t tend vers la limite / lorsque x

tend vers a, le rapport "^-r/-( tend vers la même limite; on peut toutefois affirmer l'existence d'une suite infinie de nombres |i, S2»