ENSEMBLES INFINIS. SUITES INFINIES. LIMITES

I. — ENSEMBLES INFINIS. BORNES SUPÉRIEURE ET INFÉRIEURE- POINTS D'ACCUMULATION

43. — On a déjà introduit au n" 16 la notion d'ensemble de nombres.

Je rappelle qu'un ensemble de nombres (E) est défini (ou donné) lorsque l'on définit (ou lorsque l'on donne) le moyen de reconnaître, quel que soit un nombre, si ce nombre appartient ou n'appartient pas à l'ensemble. On peut d'ailleurs raisonner sur un ensemble sans qu'il soit défini, pourvu qu'on le suppose déterminé, c'est-à-dire tel qu'on puisse affirmer, d'un nombre quelconque, qu'il appartient ou qu"il n'appartient pas à l'ensemble. Tous les nombres qui appartiennent à un ensemble sont supposés différents : l'un quelconque d'entre eux est dit un nombre de l'ensemble. Il n'est pas question, dans la définition d'un ensemble, •d'un ordre quelconque attribué aux éléments.

L'ensemble (E) est infini si on peut affirmer qu'il contient plus de n nombres, quel que soit le nombre naturel n. Dans le cas contraire, il est fini. C'est surtout d'ensembles infinis qu'il sera •question dans le présent chapitre.

Au lieu d'un ensemble (E) de nombres, je parlerai souvent d'un ensemble de points sur un axe : les deux notions sont identiques si l'on confond chaque nombre avec le point dont il est l'abscisse, x;haque point de l'axe avec son abscisse. L'ensemble de points (E) •est l'ensemble des points dont les abscisses sont les nombres de

Tannert I. — Introduction à la tbéoi'Ie des fonctions ~ 5

l'ensemble (E). On désigne souvent un tel ensemble sous le nom d'ensemble linéaire.

44. —Un ensemble de nombres (E) est dit borné en haut {ou à droite) (^) quand il existe un nombre P auquel tous les nombres de l'ensemble sont inférieurs. Un ensemble est borné en bas (ou à gauche) quand il existe un nombre /) auquel tous les nombres de l'ensemble sont supérieurs.

Quand un ensemble (E) est borné en haut, il existe un nombre M, la borne supérieure de l'ensemble, qui jouit des propriétés suivantes :

1° Aucun nombre de (É) n'est plus grand que M ;

2° Quel que soit le nombre M' plus petit que M il y a un nombre de (E) qui est plus grand que M.

Ce nombre M est d'ailleurs unique.

S'il y a dans l'ensemble (E) un nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cet ensemble, ce nombre-là est évidemment le nombre M : cette circonstance se présentera nécessairement si l'ensemble est fini.

On peut donc se limiter, dans la démonstration, au cas où, dans l'ensemble (E), borné en haut, il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres. C'est ce que je suppose dans ce qui suit.

Rangeons dans une première classe tout nombre rationnel qui est inférieur ou égal à un nombre de (E) et, dans une seconde classe les nombres rationnels qui sont plus grands que tous les nombres de (E) : il y a de tels nombres, puisque (E; est borné en haut.

Ce mode de séparation des nombres rationnels en deux classes définit (n° 10) un nombre M rationnel ou irrationnel, dont on va prouver qu'il est la borne supérieure de l'ensemble, c'est-à-dire qu'il jouit des propriétés i° et 2°.

Quel que soit le nombre A appartenant à (E), il y a dans la première classe un nombre plus grand que A ; en effet, il y a, par

(1) Celte dei-nicre façon de parler est conforme à l'habitude qu'on a de se représenter les abscisses comme croissantes quand on s'avance yers la droite : tous les points qui appartiennent à Tensemble, ou, si l'on veut, qui représentent les nombres de l'ensemble (E), sont alors eu dec;à (ou à gauche) du point P, ou du point dont l'abscisse est P.

CirAI'ITllL; II. ENSEMBLKS INFINIS 67

liypotlicsc, dans (E) un noml)rc 15 ])]ns grand que A et les nombres rationnels compris entre A et B doivent figurer dans la première classe.

Quel que soit le nombre a de la première classe, il y a dans (E) im nombre plus grand que a ; en clFct a a été rangé dans la première classe soit parce qu'il y avait dans (E) un nombre A j)lus grand que lui, soit parce qu'il était égal à un nombre A' de (E), dans ce dernier cas il y a dans (E) un nombre A plus grand que ./V ou que a.

Il résulte de là qu'il n'y a pas dans la première classe un nombre a plus grand que tous les autres de la même classe, car les nombres rationnels compris entre a et le nombre A de l'ensemble qui lui est supérieur appartiennent à la première classe.

S'il y a dans la seconde classe un nombre plus petit que tous les autres de la même classe, c'est ce nombre là qui est le nombre M défini par la décomposition ; sinon le nombre M que définit cette décomposition est irrationnel.

Dans les deux cas la première classe constitue la classe inférieure relative au nombre M, et ce nombre M est plus grand que n'importe quel nombre A de (E), puisqu'il y a, dans la première classe, un nomlire a qui est plus grand que A, et que M surpasse : le nombre M jouit de la propriété i°.

Si M' est plus petit que M, il y a dans la première classe un nombre a plus grand que M', dans l'ensemble un nombre A plus grand que a, et par conséquent plus grand aussi que M'. Il y a même une infinité de nombres de l'ensemble qui sont plus grands que M', car s'il y en avait seulement n, entre le \Au% grand de ces n nombres et M il n'y aurait plus aucun nombre de (E). Remarquons toutefois que la démonstration de celte dernière propriété de la borne supérieure suppose qu'on soit dans le cas que l'on vient jde traiter, où (E) ne contient point de nombre qui soit supérieur à tous les autres.

L'existence de la borne supérieure M de l'ensemble (E) est donc établie dans tous les cas, soit que cette borne appartienne à lensemble, dont elle est alors le plus grand nombre, soit qu'elle ne lui appartienne pas. Il est clair qu'un nombre plus grand ou plus petit que M ne peut jouir des propriétés qui ont servi à le définir : ce nombre M est unique. Si l'on sait d'un nombre M' qu'il est

68 I^TRODUCÏIOJV A LA THÉORIE DES FONCTIO^S

plus grand que tous les nombres de (E), on peut affirmer que l'on

aM'^M.

De même, si un ensemble (E) est borné en bas, il existe un nombre m, la borne inférieure de (E), qui jouira des propriétés suivantes : tout nombre de (E) est supérieur ou égal à m ; quel que soit le nombre m' plus grand que m, il existe au moins un nombre de l'ensemble (E) qui est plus petit que m' ; il en existe une infinité, si voisin que m' soit de )n, lorsqu'il n'y a pas dans (E) un nombre qui soit plus petit que tous les autres; lorsqu'il existe un tel nombre, c'est lui qui est la borne inférieure. Si un nombre m' est plus petit que tous les nombres de (E), on peut affirmer que l'on a m' ^ m.

Par exemple, o est la borne inférieure de l'ensemble des nombres positifs, et la borne supérieure de l'ensemble des nombres

négatifs.

Un ensemble borné (sans épitbète) est un ensemble borné en

haut et en bas.

45. Le lecteur observera que celte notion de la borne supérieure ou inférieure d'un ensemble aurait pu être placée immédiatement après les définitions des nombres irrationnels, de l'égalité et de l'inégalité. Quoiqu'on n'ait pas dégagé jusqu'ici la généralité de cette notion, elle était le fond même des considérations du chapitre précédent. La définition d'un nombre irrationnel revient à considérer ce nombre comme la borne supérieure et la borne inférieure des ensembles de nombres rationnels qui constituent la classe inférieure et la classe supérieure. La définition de la somme de deux nombres A, B revient à regarder celte somme comme la borne supérieure de l'ensemble des nombres rationnels distincts que l'on obtient en ajoutant deux nombres rationnels moindres respectivement que A et B, et comme la borne inférieure de l'ensemble des nombres rationnels distincts que l'on obtient en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A et B. Cette définition conduit maintenant à la généralisation évidente que voici :

Si deux ensembles (E), (E') bornés en haut, ont pour bornes supérieures M, M', l'ensemble des nombres distincts que l'on peut former en ajoutant un nombre de (E) et un nombre de (E') a pour

CIUriTRE II. ENSEMBLES INFINIS 69

borne supérieure M + M'. Une proposition analogue concernerait les bornes inlcrieures.

De môme, en conservant les mêmes notations, mais en supposant que les cléments de (E), (E') soient des nombres posilifs, on voit que l'ensemble des nombres distincts obtenus en multipliant un élément de (E) par un élément de (E') admet le produit MM' comme borne supérieure.

46. — Les propositions que voici sont tout aussi évidentes : convenons de dire que l'ensemble (E') est contenu dans l'ensemble (E), ou que l'ensemble (E) contient l'ensemble (E'), lorsque tout élément de (E') appartient à (E). Si l'ensemble (E) est borné en haut et contient l'ensemble (E'), ce dernier est aussi borné en haut et sa borne supérieure est au plus égale à la borne supérieure de (E). Si l'ensemble (E) est borné en bas et contient l'ensemble (E'j, celui-ci est borné en bas et sa borne inférieure est au moins égale à celle de (E).

47. — Soient (E),(E') deux ensemblesdont on sait que tout nombre de (E) est inférieur à tout nombre de (E') : (E) est certainement borné en haut, soit M sa borne supérieure ; (E') est de même borné en bas, soit m' sa borne inférieure. On aura m' ^ M : Si l'on avait en effet m' < M, il y aurait un nombre A' de (E') qui serait inférieur à M ; contrairement à l'hypothèse, il y aurait donc un nombre A de l'ensemble (E) supérieur au nombre A' de l'ensemble (E'). Ainsi la différence entre un nombre appartenant à (E') et un nombre appartenant à (E) est au moins égale a m' — M.

Si donc on peut trouver dans (E) et dans (E') des nombres aussi voisins qu'on le veut, on peut être certain que l'on a m' = M. On a considéré au n° 17 deux ensembles de nombres rationnels qui étaient dans ce cas, le nombre qu'ils servaient à défmir n'était autre que la borne supérieure de l'un, la borne inférieure de l'autre.

48. — Si un ensemble (E) est borné (en haut et en bas), il admet une borne supérieure M, une borne inférieure m ; la différence M — m est un nombre positif, qui ne pourrait être nul que si l'ensemble E se réduisait au seul nombre M =^ m ; on voit de

yO INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

suite que M — m est la borne supérieure de l'ensemble des nombres distincts obtenus en prenant la valeur absolue de la différence de deux nombres qui appai'tiennent tous les deux à (E), J'appellerai M — m écart de l'ensemble (E; ; j'emploierai aussi les mots « écart de deux nombres a, h » pour désigner la valeur absolue delà différence a — h.

On appelle intervalle de deux nombres distincts a, 6, et l'on désigne par {a, h) l'ensemble des nombres a, h et de tous les nombres réels compris entre « et 6 ; le plus petit des nombres a, b est la borne inférieure de cet ensemble ; le plus grand en est la borne supérieure ; l'écart de l'intervalle, ou de l'ensemble, est le nombre positif \ b — a\.

Ces diverses dénominations se justifient pleinement quand on substitue les points aux nombres ; soit que l'on attribue une réalité à la représentation géométrique, soit qu'on la regarde (n° 28) comme une simple façon de parler, capable de soulager la pensée par les images concrètes qu'elle rappelle.

Un ensemble de points borné à droite a tous ses points en deçà d'un certain point de Taxe. Il existe un point M, la borne supérieure ou la borne de droite, tel qu'aucun point de l'ensemble ne soit au ^ delà de M et tel que si M' est un point quelconque en deçà de M, il j ait certainement un point de l'ensemble au-delà de M'; si M ne fait pas partie de l'ensemble, il y a une infinité de points de l'ensemble aussi voisins de M que l'on voudra. De même pour la borne inférieure (ou de gauclie), si l'ensemble de points est borné à gauche.

Un intervalle («, b) n'est autre chose que le segment de droite dont les extrémités sont les points d'abscisse a, b ou plus brièvement les points a, b. Un point (ou un nombre) appartient à cet intervalle, s'il est, soit a, soit 6, soit compris entre a et b; il est intérieur à cet intervalle, s'il est compris entre a et b. Le

centre de l'intervalle est le point

Un ensemble borné en haut et en bas (à droite et à gauche), dont les bornes supérieure et inférieure sont M, m est figuré par des points appartenant à l'intervalle (m. M), etc.

Je continuerai, dans ce qui suit à employer le langage géométrique, et j'emploierai indifféremment les mots « point » ou « nombre ».