CHAPITRE II. ENSEMBLES INFIMIS 7I

49. — Un poiiH (raccanuilalioit d'un ensemble infini (!•]) est un point, qui peut d'ailleurs appartenir ou ne pas ap[)aitcnir à (E), mais aux environs duquel se trouvent une infinité de points de (Ej, D'une façon plus précise a sera un point d'accumulation de (E) si, quelque petit que soit le nombre positif c, il y a dans (E) un point autre que a, dont la distance au point a est moindre que c ; s'il en est ainsi, on peut affirmer qu'il y a dans (E) une infinité de points dont la distance à a est moindre que c, car s'il y en a seulement p, soit ap celui de ces points qui s'écarte le moins de a : il n'y aurait pas dans (E) de point, autre que n, dont la distance à a fut moindre que \a — tz^, | ; a ne serait pas un point d'accumulation.

On peut présenter les choses un peu dilTéremment : soit a un nombre ou un point quelconque ; l'ensemble des distances du point a aux points de (E), autres que a, est borné en bas, puisque toutes ces distances sont des nombres positifs ; si la borne inférieure de cet ensemble des distances est o, le point a est un point d'accumulation de (E), si la borne inférieure est le nombre positif a, le point a n'est pas un point d'accumulation et Ton peut affirmer que la distance à a d'un point quelconque de (E), autre que a, est au moins égale à ij. ; en d'autres termes, si l'on regarde a comme le centre d'un intervalle dont l'écart soit moindre que 2rx, il n'y aura pas dans cet intervalle de point appartenant à (E) autre que a ; au contraire, si a est un point d'accumulation, tout intervalle, si petit qu'il soit, dont a est le centre, contient une infinité dépeints de (E).

Par exemple, o est un point d'accumulation de l'ensemble des fractions dont le numérateur est i et le dénominateur un nombre naturel : il n'appartient pas à cet ensemble.

Lorsqu'un ensemble infini est borné en haut, sa borne supérieure est certainement un point d'accumulation de cet ensemble quand elle ne lui appartient pas : elle peut d'ailleurs être un point d'accumulation, tout en lui appartenant. De même pour la borne inférieure, quand l'ensemble est borné en bas.

50. — Un ensemble infini (E) borné en haut et en bas, admet au moins un point d'accumulation appartenant à l'intervalle [m, M) des bornes inférieure et supérieure de l'ensemble.

Tous les points de (E) appartiennent à l'intervalle (m, M~. Ecar-

tons le cas où m serait un point d'accumulation de (E), cas où le théorème se trouverait vérifié par hypothèse; et soit a un point quelconque de l'intervalle {m, M), autre cjue m ; il peut y avoir un nombre fmi ou infmi de points de l'ensemble (E) qui appartiennent à l'intervalle {in^ a) ; il y en a un nombre fini, si a est sufTisamment. voisin de m, sans quoi, m serait un point d'accumulation, il y en a une infinité si a est égal à M ; soit (A) l'ensemble des points a tels que dans l'intervalle [m, a) il y ait un nombre fini de points appartenant à l'ensemble (E) ; d'après ce qu'on vient de dire, (A) est borné en haut : soit a sa borne supérieure, qui est au plus égale à M ; si petit que soit le nombre positifs, dans l'intervalle (in, a — c) il n'y a qu'un nombre fini de points appartenant à (E) ; il y en a au contraire une infinité dans l'ensemble (/??, a H- a), carr, autrement, il y aurait dans (A) un nombre a + s supérieur à a ; il y a donc une infinité de points de (E) qui appartiennent à l'intervalle (a — s, a + c) ; par conséquent, a est un point d'accumulation de l'ensemble (E).

51 . — Si un ensemble (E) a pour bornes inférieure et supérieure les nombres m, M, tout point d'accumulation de cet ensemble appartient à l'intervalle (m. M).

La distance d'un point de l'ensemble (E) à un point d'accumu lation de cet ensemble est au plus égale à M — m. Il en est de même de la distance de deux points d'accumulation de (E).

Il est clair qu'on n'altère pas les points d'accumulation d'un ensemble infini (E) en supprimant de cet ensemble, ou en introduisant dans cet ensemble un nombre fini d'éléments. J'entends par là que si (E,) est l'ensemble infini que l'on déduit de (E) en en supprimant certains éléments, en nombre fini, ou en y introduisant certains éléments, en nombre fini, les points d'accumulation de (Ej) sont les mêmes que les points d'accumulation de (E).

Si l'ensemble (E') est contenu dans l'ensemble (E), tout point d'accumulation de (E') est un point d'accumulation de (E). On ne peut pas affirmer que, réciproquement, tout point d'accumulation de (E) soit un point d'accumulation de (E').

Si l'ensemble (E) est borné (en haut et en bas) et n'a qu'un nombre fini p de points d'accumulation cii, a^, ..,, cip, si l'on regarde ces points comme les centres respectifs àe p intervalles, d'ail-

CIIAl'ITRIO II. SUITES INFINIES 7'^

leurs aussi petits qu'on voudra, il n'y aura en dehors de ces intervalles qu'un nombre fini de points de(E). Soit en eflet2a l'écart du plus petit intervalle: l'ensemble (E,) des points de (E) qui sont situés en dehors de ces intervalles est évidemment borné, puisqu'il est contenu dans (E) ; s'il était infini, il admettrait au moins un point d'accumulation a qui serait aussi un point d'accumulation de (E) et par conséquent l'un des points a^, a^,..., a^, : or la distance d'un point quelconque de (E^), à l'un quelconque de ces points est supérieure kfj.^ puisque tous les points de (Ej) sont en dehors des p intervalles.

Si l'on fait rentrer dans un ensemble les points d'accumulation' qui ne lui appartiennent pas, il est clair qu'on ne modifie pas les bornes de cet ensemble.

Les notions de borne supérieure ou inférieure et de point d'accumulation sont fondamentales dans la théorie des ensembles denombres (ou de points). Avant d'aller plus loin dans cette théorie, il convient d'insister sur la notion de limite.

II. — SUITES INFIMES. LIMITES 52. — On dit qu'une suite de nombres

est déterminée quand le nombre qui figure à un rang déterminé est déterminé ; elle est définie (ou donnée) quand on définit (ou que l'on donne) le moyen de calculer un terme quelconque iin connaissant son rang n.

En disant qu'une telle suite a une limite A, on veut dire que les termes de cette suite deviennent aussi voisins du nombre A qu'on le veut, pourvu que leur rang soit suffisamment grand. D'une façon précise, on dira que la suite (ii) a pour limite A, ou. mieux que a,,, pour n infini, a pour limite A, et l'on écrira

lim. Un = A,

si, quelque petit que soit le nombre positif z, on peut lui faire correspondre un nombre naturel/) tel que l'on ait | u.j — A| <C £ pour tous les entiers /i supérieurs àyj. S'il en est ainsi, tous les termes u^ de la suite appartiennent à Tintervalle (A — £, A -+- s) lorsque n est plus grand que p ; quelques-uns des termes iti, II.,,..., Il,, peuvent d'ailleurs appartenir à cet intervalle : en tous cas, les termes de la suite qui n'appartiennent pas à cet intervalle sont en nombre fini. Réciproquement, s'il existe un nombre A tel que, quelque soit le nombre positif c, le nombre de termes de la suite (a) qui n'appartiennent pas à l'intervalle (A — c, A + s) soit toujours fini, la suite a pour limite le nombre A ; car si l'on se donne s, et si l'on désigne par/» le nombre de termes de la suite qui n'appartiennent pas à l'intervalle (A — 2, A -h s), u„ appartiendra certainement à cet intervalle si n est plus grand que p et l'on aura | iin — A | << s sous la condition n >> p.

Une suite (m) ne peut avoir deux limites distinctes A, B, car si

la suite (n) a pour limite A et si l'on prend s. = ' ; , tous les

termes de la suite, à partir d'un certain rang, appartiendront à l'intervalle (A — ô, A -f- s) et leur différence avec B sera au

. , , , lA- B| moms égale a '

Les deux égalités lim. 11,1 = A, lim. (a,, — A) = o ont le même

n = 00 II = co

sens.

Voici quelques exemples de limites :

Un nombre A peut être regardé comme la limite de la suite des

valeurs approchées de A à — , — ;, ..., — , ... près, par défaut,

ou de la suite des valeurs approchées de A à -

ipres, par excès.

La suite i, -, .t, ..., , ... a pour Imiite o.

La suite i, -, g, » > ••• a pour limite i, puisque la

•différence i — = - sera plus petite cjue s pour n > 7-

Si l'on considère une fi-action continue illimitée qui définisse île nombre A, dont les quotients incomplets forment la suite a^.

..., rt„,

.... et (

Llont Ji

Pu

Qo'

, ., clia

Qo'

Po

CIIAPITUE II. SUITES INFINIES 'jb

., et dont les réduilcs successives soient les nombi-cs chacune des suites

•aura pour limite A ; la différence entre A et le n"- terme de celle suite est alternativement positive et négative pour la première ; elle •est toujours positive pour la seconde, toujours négative pour la troisième ; dans tous les cas, la valeur absolue de cette différence peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que n soit suffisamment grand.

53. — Si la suite n,, ii.,, .... ii„, ... n'a pas A pour limite, au sens qu'on vient de dire, on peut affirmer qu'il existe un nombre positif a jouissant de la propriété suivante : quel que soit le nombre positif p, il y a un nombre naturel n >> p, tel que l'on ait \un — A|èa : en effet, nier l'existence d'un tel nombre, c'est affirmer que, quel que soit le nombre positif a, on peut lui faire correspondre un entier p tel que l'on ait | h„ — \\ << y, pour toutes les valeurs de n supérieures à /), c'est donc affirmer que la suite a A pour limite. On exprime la même chose en disant que si la suite ii^, ii.,, ..., u„, ... n'a pas A pour limite, il y a, dans cette •suite, une infinité de termes n„ tels que l'on ait | u„ — A >- | a |.