AB

lim. ('lu]

la dernière égalité toutefois suppose essentiellement que B ne soit pas nul : c'est la seule que je démontrerai, après avoir fait l'observation suivante.

Il peut se faire que dans la suite

dont il faut démontrer qu'elle a pour limite p , certains termes,

dont le dénominateur se trouverait être nul, n'aient pas de sens : il est sous-entendu qu'on n'en tient aucun compte et que c'est de la suite débarrassée de ces termes que l'on s'occupe : tout d'abord, cette circonstance ne peut se présenter qu'au commencement de la suite ; en s'avançant assez loin, elle ne se présente plus, lorsque, comme on l'a supposé, B n'est pas nul; si, en effet, on désigne par B' un nombre positif plus petit que | B | et par p un entier positif tel que l'on ait, pour n >/>,

CIIAPn'RK II. SUITES INFINIES 77

on aura (') ncccssaircmenl ] v,, \ > B', en sorte que ?;„ ne pourra pas être nul .

Venons maintenant à la démonstralion de la proposition annoncée :

Soient, en général,

ii„, A Iîî„ — At),, ^

i;„ J} B(liH-r,„)

quel que petit que soit le nombre positif a plus petit que | B | — B', on peut supposer le nombre entier p assez grand pour que l'on ait 1 s,, I << a, 1 Tjn 1 <C a, sous la condition n > /J. On aura alors

|B4-r,„|>|]51-a>B' et