IV

(1)11 n'est peut-être pas inutile d'observer que si a, p, v sont trois nombres positifs quelconques, l'une quelconque des inégalités | =t a i ^ | < Ys ^^' traîne les inégalités

yS INTRODUCTION A LA THÉORIE DES F0NCT10?<S

pouvvu que à (A, B, C) ne soit pas nul, on aura

lim. " ("»> v,„ w„) o (A. B. C) n — coo (w„, V„, W„) <li (A, 13, Cj'

Au lieu de trois suites, on aurait pu aussi bien considérer quatre, cinq, . . . suites et des polynômes à quatre, cinq, . . . variables.

55. — Il y a un intérêt évident, étant donnée une suite infinie (h) Ml, u^, ..., u„, ...,

à savoir reconnaître si cette suite a une limite ou non.

Considérons, en même temps que cette suite, l'ensemble (U) des nombres distincts qui y figurent : je dirai de la suite qu'elle est bornée, ou qu'elle n'est pas bornée, suivant c[ue l'ensemble (U) est borné ou n'est pas borné. L'ensemble (U) est en général infini : pour qu'il en soit autrement, il est évidemment nécessaire que la suite (u) contienne une infinité de termes égaux : écartons provisoirement de nos raisonnements les suites de cette nature.

Supposons que la suite (u) ait une limite A; elle est alors bornée, puisque, quel que soit le nombre positifs, ses termes sont, saut un nombre fini d'entre eux, a, b, c, ..., I, tous compris dans l'intervalle (A — 3, A H- c), en sorte que la valeur absolue de I'ub quelconque de ses termes est au plus égale au plus grand des nombres | a | , | 6 j , | c | , . . . , | / 1 , | A — c\, | A -h c j .

D'autre part, et pour la même raison, le point A est un point d'accumulation de (U) et il est le seul : il faut bien en eflet qu'il y ait dans l'intervalle (A — s, A -^ s) une infinité de points de (U), puisque, en dehors de cet intervalle, il ne s'en trouve qu'un nombre fini ; puis, tout point d'accumulation de (U) appartient nécessairement à cet intervalle et, par conséquent, coïncide avec A,. puisque s peut être supposé aussi petit qu'on le veut.

Réciproquement, si l'ensemble (U) des nombres distincts qui se trouvent dans [u) est borné et s'il admet un point d'accumulation unique A, ce point ou ce nombre A est la limite de la suite (m). En effet, si A est un point d'accumulation de (U), il y aura, en désignant par £ un nombre positif quelconque, une infinité d'éléments de l'ensemble, ou de termes de la suite, qui appartiendront

CHAriTliK H. SUITI-S IM'IMES 7Q

à l'intervalle (A — z, A + z) ; ceux des points de l'ensemble qui sont en dehors de cet intervalle sont en nombre fini (n' 51j, et, par conséquent (n" 52), A est la limite de la suite (u).

Ainsi, pour que la suite (u), dont on suppose qu'elle ne contient pas un nombre infini de termes égaux entre eux, ait une limite, il faut et il suffit que l'ensemble (U) soit borné et admette un point d'accumulation unique ; ce point est la limite de la suite. Si la suite (ii) contient une 'infinité de termes égaux à un nombre A, elle ne peut évidemment avoir d'autre limite que ce nombre. On fera rentrer toutes les suites dans un môme énoncé en convenant d'appeler point d' accumulation dune suite \ii) soit un point d'accumulation de l'ensemble (U) des termes distincts de cette suite, soit un nombre qui figurerait une infinité de fois dans la suite (n) : on pourra dire alors :

La condition nécessaire et suflisantc pour qu'une suite ait une limite est qu'elle soit bornée et n'admette qu'un point d'accumulation.

Observons en effet que si A est un point d'accumulation d'une suite infinie quelconque (a), on peut affirmer que, quelque soit le nombre positif i, il y a une infinité de termes de la suite qui appartiennent à l'intervalle (A — z, A h- z), soit j^arce que A est un point d'accumulation de l'ensemble (U) des termes distincts de [u), soit parce qu'il y a dans cette suite une infinité de termes égaux à A. Si la suite n'admet pas d'autre point d'accumulation, et si elle est bornée, il n'y a en dehors de cet intervalle qu'un nombre fini de termes : en effet, d'une part, il ne peut y avoir en dehors de cet intervalle qu'un nombre fini d'éléments distincts de l'ensemble (L), sans quoi cet ensemble admettrait un second point d'accumulation ; d'autre part il ne peut y avoir en dehors de l'intervalle un terme qui soit répété une infinité de fois dans la suite, puisque ce terme devrait alors être regardé comme un point d'accumulation, non de l'ensemble, mais de la suite : le raisonnement qui a servi dans le cas où on avait affaire à une suite ne contenant pas une infinité de termes égaux s'applique donc encore.

56. — A oici une autre forme de la condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite «,, u.,, ..., u,,, ... ait une limite.

Supposons que cette limite existe et soit égale à A ; quel que soit le nombre positif £ on peut lui faire correspondre un entier p tel

que l'on ait ] A — iin \ << - sous la condition ii '> p- Si donc ?i et m sont supérieurs à p, on aura | ii„ — ii,n \ <C = puisque l'on a évidemment | ii,, — u,„ 1 ^ | u^ — A 1 -h I A — iim |.

Réciproquement, si à chaque nombre positif s on peut faire correspondre un nombre naturel p tel que l'on ait | iim — Un\ <is sons la seule condition que m et n soient supérieurs à p, on peut affirmer que la suite fit) a une limite.

Cela est évident s'il y a dans la suite une infinité de termes égaux à un nombre A, puisqu'on pourra toujours prendre ll,n =■ A.

S'il en est autrement, comme je le suppose dans ce qui suit, la suite (u) comprend une infinité de nombres distincts, qui forment un ensemble infini (U). Cet ensemble est borné, car si l'on suppose in'^p, tous les termes de la suite sont compris dans l'intervalle («„, — h, iim H- c) , sauf un nombre fini de termes pris dans la suite limitée Uj, ii^, ..., iim — i. L'ensemble (U) admet un point d'accumulation qui appartient nécessairement à l'intervalle {ii,n — £, Um -+- s), intervalle dont l'écart est 2£ : il est donc impossible que l'ensemble (U) admette deux points d'accumulation distincts A, A', puisque la distance de ces deux points devrait être au plus égale au nombre positif 2 £, qui peut être supposé aussi petit qu'on le veut. Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que la suite 11^, 11.^, ..., «„, ... ait une limite est que l'on puisse faire correspondre à chaque nombre positifs un nombre naturel p tel que l'on ait, sous la seule condition que les nombres naturels n et m soient supérieurs h p, I ii,n — u„| < £.

On observera que si cette condition est vérifiée, on peut prendre pour valeur approchée de la limite, un terme quelconque ii,n [m >-p) : l'erreur commise est alors au plus égale à s.

Si la suite «j, 11.^, ..., ii„, ... n'a pas de limite, on peut affirmer l'existence d'un nombre positif a, tel que, pour une infinité de couples de nombres n, m, on ait 1 u,, — Um \'^ y. ; le raisonnement est le même qu'au n" 53.

57. — Considérons une suite ii^, 11^, ..., Un, ... telle que chaque

CUAIUTUE n. SUriKS INFIMKS 8l

terme soit égal ou supérieur à ceux qui le précèdent ; auLronent dit, on a 11,,. + i è ih, quel que soit 11 ; si tous les termes sont inférieurs à un nondjre lixe A, la suite a une limite. J']n edct, l'ensemhle (U) des nombres distincts qui appartiennent à la suite est borné ; sa borne inférieure est Ui, sa borne supérieure a est inférieure ou égale à A. Soit s un nombre positif quelconque, il y a certainement un nombre de (U), un terme de la suite (u), qui est plus grand que a — £ ; soit u^, un pareil terme : les termes suivants, supérieurs ou égaux à iip, seront aussi plus grands que (/ — £ ; aucun de ces termes ne pouvant dépasser c/., on aura a — Un <C £> sous la condition n >>y> : la suite a pour limite sa borne supérieure.

Si une suite u, , u.,, ..., 11,,,, ... est telle que chaque terme soit égal ou inférieur à ceux qui le précèdent ; autrement dit, si l'on a iin + i ^ iin> quel que soit n, et si tous les termes sont supérieurs à un nombre fixe B, la suite a une limite, qui est, cette fois, la borne inférieure de l'ensemble (U) des nombres distincts qui figm'ent dans la suite. Cette limite est inférieure ou égale à B. La démonstration est la même. Au surplus on ramènerait ce cas au précédent, en changeant tous les termes de signe.