Si l'on considère deux suites
{u) Ui, n, "m •••,
■et si, d'une part, les termes de la première suite sont tous inférieurs ou égaux à un terme quelconque de la seconde suite; si, d'autre part, on a lim. {l\, — n,) = o, les deux suites ont une limite et
•cette limite est la même pour les deux suites.
■ Soient (U), (V) les ensembles formés respectivement par les termes distincts de la suite (a) et les termes distincts delà suite (y). Chaque élément du premier ensemble est, par hypothèse, inférieur ou égal à un élément quelconque du second ; d'ailleurs, à cause de la condition lim. (u,, — v„) = o, il y a des nombres pris l'un dans (U), l'autre dans (V) qui diffèrent aussi peu qu'on le veut. Il suit de là (n° 47), que la borne supérieure de (U) est égale à la foornc inférieure de (V) : soit A cette borne commune et £ un
Tasnert I. — IntroduclioQ à la théorie des fonctions g
82 INTRODUCnON A LA. THÉORIE DES FO!\CTIONS
nombre positif quelconque; soitp un nombre entier tel que l'on ait i\, - — 11,1 <C £,• sous la condition n > />■ Les inégalités
U„ ^ A ^ V„, Un Un < £>
entraînent
G ^ A — ii,j <C s. o g v„ — A <;; s ;
la proposition est démontrée.
Les intervalles tels que (m„, y„), dont les bornes inférieure et supérieure sont deux termes correspondants des suites (m, u), peuvent évidemment être caractérisés de la façon suivante :
1° La borne inférieure de l'un quelconque de ces intervalles est inférieure ou égale à la borne supérieure de l'un quelconque d'entre eux .
2° L'écart de l'intervalle (ij«, y,,) tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.
Réciproquement si l'on considère une suite infinie d'intervalles
(«1, Vi), (h,, vJ.... {a,„ Vn),...
qui satisfassent à ces deux conditions, il est clair que les deux suites formées l'une, par les bornes inférieures, l'autre par les bornes supérieures satisferont aux conditions imposées aux suites [il), (v) du j)résent numéro en sorte qu'il existera un nombre A tel que l'on ait
11m. ii„ = 11m, v,i = A ;
ce nombre A appartient à l'un quelconque des intervalles (^ii^,Vi)^ {ih, v^),...
Il y a plus, si l'on considère une suite quelconcj[ue a?,, aî^,..., x,i,..., dont on sache seulement cpe Xn appartient à l'intervalle [lin, Vn), quel C[ue soit n, on peut afïirmer que l'on a
11m. Xn = A ;
en effet l'écart entre A et x„, qui appartiennent tous deux à l'intervalle Çiin, Vn), est moindre que Vn — ih,-
La connaissance des deux suites (w), (v) pour déterminer le
CHAPITIU: II. SUITES IM'IMES 83
nombio A oiTvo ceci, de j)r('c!eux qu'un terme quelconque ?/„ de la première suite, un terme quelconque v^, de la seconde suite peuvent être pris pour valeurs approchées de A, l'une par défaut, l'autre par excès ; la différence entre ces deux valeurs Iburnit une limite supérieure de l'erreur commise.
Un cas fréquent est celui oii les suites (a), (y), outre ([u'cllcs satisfont aux conditions imposées, sont telles que l'on ait, quelque soit n,
l'existence de la limite, pour l'une ou l'autre résulte alors du n"57.
Telles sont les suites que l'on déduit d'un symbole écrit comme un nombre décimal qui aurait une infinité de chiffres, la première en prenant successivement un, deux, trois,... chiffres décimaux, la seconde en forçant le dernier chiffre dans chacun des termes de la première suite (n° 18).
Telles sont encore les deux suites
Po
Qo'
déduites d'une fraction continue illimitée (n° 38) en prenant les réduites de rang- pair et les réduites de rang impair.
E9. — Examinons maintenant ce qui arrive si la suite infinie
(«) Hj, II.,, ..., Il,,,
n'a pas de limite.
Si la suite («) n'a pas de limite, c'est qu'elle n'est pas bornée, ou qu'elle a plus d'un point d'accumulation (n° 55).
1° Supposons que la suite (u) ne soit pas bornée : alors, quelque soit le nombre positif A, et quel que soit le nombre naturel yj, il y a dans la suite, après le terme «p, un terme a„plus grand que A en valeur absolue ; sinon, en effet, l'ensemble (U) serait borné, puisque tous ses éléments seraient inférieurs ou égaux en valeur absolue au plus grand des nombres | u^ |, |u, |,... \u„\, A. x\près le terme ii^,, il y a de même un terme iiq, plus grand que A en
8/i INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
valeur absolue; il y en a encore un autre après m,,... : il y a, après ii,„ une infinité de termes plus grands que A en valeur absolue. Si l'on savait que la suite [ii] n'est pas bornée en haut, on pourrait affirmer en vertu du même raisonnement, qu'il y a dans la suite, après tel terme que l'on veut, une infinité de termes qui sont plus grands que A.
2° Si la suite {ii) admet un point d'accumulation a, on sait que quelque petit que soit le nombre positif £, il y a une infinité de termes de la suite dans l'intervalle (a — s, a -h s) ; il y en a donc une infinité après un terme quelconque iin ; en sorte que si la suite a plusieurs points d'accumulation, on peut affirmer que, après chaque terme, il s'en trouve qui sont aussi rapprochés que l'on voudra de tel point d'accumulation que l'on veut ou encore, si la suite n'est pas bornée, qui sont aussi grands que l'on veut en valeur absolue.
60. — Parmi les suites qui ne sont pas bornées, il convient de distino'uer celles qui jouissent de la propriété suivante : quelque orand que soit le nombre positif A, on peut lui faire correspondre un nombre naturel p tel que l'on ait ih, > A, sous la condition n >■ p. Pour exprimer que la suite («) jouit de la propriété qu'on vient de dire, j'écrirai, suivant un usage commode et très répandu
]im. u,; = H- ce.
n ;= ce
Je dirai aussi que iin croît indéfiniment avec n, ou encore que u„ tend (') vers -+- go.
Les suites de cette nature ont, à cause de la façon régulière dont leurs termes croissent, quelque chose de commun avec les suites qui admettent une limite : elles n'en admettent évidemment pas, au sens qui a été donné à ce mot au n° 52 ; rien, à la vérité, n'aurait empêché de modifier la définition adoptée alors, de dire limite Jinie \ya.vloul où l'on a dit limite, et dédire que ii„ a pour limite + co, pour signifier que, quelque grand que soit le nombre A, on peut lui faire correspondre un entier/;, tel que l'inéga-
(i) L'expression tendre vers l'infini a été longtemps rejetée du langage mathématique comme incorrecte ; il me paraît qu'on peut l'adopter pourvu qu'on l'entende d'une façon précise.
