CHAPITRE 11. SUITES INFINIES S
litc /i >- y), entraîne l'inégalilc a„>-A. L'onnnl d'accoler presque loiijours l'épilliète « finie » an mot limite et de choquer dos habitudes invétérées, comme celle qui consiste à dire, dans le cas qui nous occupe, que «« croît au delà de toute limite, m'a décide à adopter le mode de langage qui est d'ailleurs le plus répandu, bien qu'il semble, d'un autre côté, assez singulier de ne pas oser r///'e que u„ a une limite infinie, ou a l'infini pour limite, quand on écrit lim. u„ = -i- oo • Mais ce qui importe par dessus tout,
c'est de ]3réciser le langage et les notations.
De même, j'écrirai lim. ii„ = — ce, et je dirai que ii„ tend vers
— zc, pour signifier que, quelque grand en valeur absolue que soit le nombre négatif A, on peut lui faire correspondre un entier p tel que l'on ait ii„ <; A, sous la condition n >/>.
Il est clair que la supposition lim. n„ = ± oc entraîne la con-
u = co
clusionlim. — = o.
Un
61. — Si la suite (a) n'est pas bornée en haut, on peut en extraire une suite infinie de termes i\, i',, ..., Vp, ... dont les rangs n^, n^, ..., iij,, ..., qu'ils occupent respectivement dans la suite {il), aillent en croissant, et tels que l'on ait lim. v^, = + cx).
P =z ca
Soit en elTet (a) «j, Oj, ..., Op, ...
une suite infinie de nombres positifs croissants, tels que l'on ait lim. a^ = -h oo ; ce sera, si l'on veut, la suite des nombres natu-
rels. On prendra pour Vn le premier terme de la suite [u) qui soit égal ou supérieur à a^ ; en d'autres termes, si 7?^ est. dans la suite (a) le rang du premier terme égal ou supérieur à a^, on prendra t'i =^ ^f«i ; on prendra de même v.2 = u,,^, en désignant par n., le rang, dans la suite (ti), du premier terme plus grand que a,, puis L'j = îi„^, en désignant par n.^ le rang, dans la suite (ii), du premier terme plus grand que a^, etc..
Il est clair que, dans la suite (n), «„, doit suivre ii„^, que n^^^doit suivre u,,^, etc., en sorte que l'on a n^ <i n2<i n^ <i .-• Comme
86 I?ÎTRODUCTIO?î A. LA THÉORIE DES FO?i;CïIO?îS
les termes de la suite (ii) finissent par dépasser tel nombre positif que l'on veut, la proposition est évidente. Par exemple, de la suite
on peut extraire la suite i, 2, 3, ..., dans laquelle le n" terme augmente indéfiniment avec n.
Un raisonnement analogue montre que si un ensemble infini (E) n'est pas borné en haut, on peut en extraire une suite Uj, i'^, ..., Vn, ... telle que l'on ait lim. u„ ^^ -f- oo ; on prendra alors pour
Il = CO
v^ un nombre de (E) supérieur à Oj, pour v., un nombre de (E) supérieur à a^, etc.. On ne sera jamais arrêté : dans ce cas, toutefois, la suite Uj, y^, ..., u„, ... n'est pas définie comme elle l'est dans la démonstration précédente, elle ne pourrait l'être que si l'ensemble (E) était lui-même défini.
62. — Si l'on n'a pas lim. | iin | = -f- oo, on peut affirmer que
n = CD
la suite infinie [ii), qu'elle soit bornée ou non, admet un point d'accumulation. En effet, affirmer qu'on n'a pas lim. | iin | =-1- oo,
c'est affirmer l'existence d'un nombre positif A tel que chaque terme de la suite (u) soit suivi de termes inférieurs ou égaux à A en valeur absolue ('), tel par consécpient qu'il y ait une infinité de termes de la suite inférieurs ou égaux à A en valeur absolue, c'est donc affirmer l'existence d'une infinité de termes de la suite dans l'intervalle ( — A, -h A), ou encore l'existence, dans cet intervalle, d'un point d'accumulation de la suite, soit que l'intervalle contienne une infinité de termes inégaux (n" 49), soit cpr'il contienne une infinité de termes égaux (n° 55).
(') En effet, s'il n'existait pas un pareil nombre A, c'est que quelque soit le nombre positif A, il y aurait un terme de la suite (u) tel que tous les termes suivants fnssent, en valeur absolue, plus grands que A, c'est donc qu'on aurait lim. I u„ j = + ce.
