CHAPITRE II. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES Io

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semble des nombres naturels est rendue visible ('). Si maintenant on désigne par ii„ le même nombre que v^ ^, lorsque n corpond à (a, |j), on voit comment un tableau à double entrée formé par les nombres v^ o peut être transformé en une suite linéaire «1, 11.^, ..., Un, ..., ou réciproquement.

On pourrait aussi bien réaliser d'une façon concrète la correspondance entre l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers positifs, nuls ou négatifs et l'ensemble des nombres naturels. La figure de la page précédente, dont il me suffira de dire que, à gauche, les cases ont été numérotées en tournant, éclaircit un des modes de correspondance que l'on peut imaginer.

D'ailleurs rien n'empêche, tout en conservant les mêmes images, d'exclure certains des systèmes (a, p) ; les cases correspondantes devraient rester vides. Par exemple, dans le premier mode de représentalion, qui se rapportait au cas où a, p étaient des nombres naturels, on peut supposer que le nombre a ne prenne que les valeurs i, 2, ...,/>; le tableau se composera alors de p rangées horizontales et d'une infinité de rangées verticales limitées.

Quelque soit le mode de correspondance que l'on imagine, entre l'ensemble des systèmes (a, [i) de nombres entiers et l'ensemble des nombres naturels «, il est aisé de voir que si l'un des nombres a, jj augmente indéfiniment en valeur absolue, n augmente aussi indéfiniment ; réciproquement si n augmente indéfiniment, l'un au moins des nombres oc, j^ augmente indéfiniment en valeur absolue. En d'autres termes, et d'une façon grossière, si on suppose les nombres v^ a rangés d'une part dans un tableau à double entrée et d'autre part dans une suite linéaire Ui, ii^, ..., m„, ..., les éléments qui seront à l'infini dans le tableau sont les mêmes que ceux qui sont à l'infini dans la suite. C'est une généralisation de la proposition établie au n° 74, généralisation sur laquelle je crois inutile d'insister. Je me bornerai à remarquer encore que si la suite iii, U2, ..., u,j, ... a une limite A, les nombres v^ o seront très voisins de A, lorsque l'un des nombres a, ]S sera très grand en

(1) Le lecteur pourra s'amuser à démontrer que le couple de nombres naturels (a, P) et le nombre naturel n se correspondent si l'on a

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valeur absolue. Le lecteur n'aura aucune peine à énoncer celte proposition sous une forme précise.

Voici maintenant quelques conséquences du théorème fondamental du n" 75.

77. — L'ensemble des systèmes (a, fj), où a désigne un nombre entier positif, nul ou négatif et où fj désigne un nombre naturel premier à a, étant une partie du système de deux nombres entiers quelconques, est dénombrable, comme ce dernier système. Si l'on

remplace alors le symbole (a, p) par le symbole ^, on a le théorème suivant : l'ensemble (R) des nombres rationnels est dénombrable.

Cet ensemble (R) est d'une nature très différente de ceux des ensembles dénombrables (de points ou de nombres) que l'on a considérés aux n"' 55, 72, 73 : en effet tout nombre, ou tout point est un point d'accumulation de l'ensemble (R) puisqu'il y a des nombres rationnels qui approchent autant qu'on le veut de n'importe quel nombre, rationnel ou non.

Il en est de môme de l'ensemble des nombres ou des points ax -+- by que l'on a considéré au n° 30 ; je rappelle que a et 6 sont des nombres dont le rapport est irrationnel et que les éléments de l'ensemble considéré s'obtenaient en remplaçant x, y par tous les systèmes de nombres entiers positifs, nuls, ou négatifs. Les explications données au n" 31 montrent que tout point de l'axe peut être regardé comme un point d'accumulation de cet ensemble qui, lui aussi, est dénombrable, puisqu'il est manifestement en correspondance parfaite avec l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers, positifs ou négatifs.

78. — Voici maintenant une extension du théorème du n" 70. Considérons une suite infinie d'ensembles déterminés