EJ, (E,), ..., (E

tous finis ou dénombrables : l'ensemble (E) des éléments distincts qui appartiennent soit à l'un, soit à l'autre, des ensembles (EJ, (Ej), ... est fini ou dénombrable.

Supposons d'aboid que deux ensembles pris dans la suite n'aient jamais d'élément commun.

Chaque ensemble (E,î) étant dénombrable (ou fini), on peut faire correspondre chacun de ses éléments à un nombre naturel ; convenons, afin de garder la trace de l'indice n, de faire correspondre au système des deux nombres naturels [n, p) celui des éléments de (E„) qui correspond au nombre p. Dans le cas où l'ensemble (E„) serait fini, le nombre /3 ne pourrait prendre qu'un nombre fini de valeurs. Dans tous les cas, il est clair que l'ensemble (E) correspond parfaitement à l'ensemble (dénombrable) des systèmes de deux nombres naturels (/z, p), d'où l'on aurait exclu les éléments pour lesquels/) dépasserait le nombre des éléments de(EK), si ce dernier ensemble était fini. Or tout ensemble qui fait partie d'un ensemble dénombrable est dénombrable.

S'il y avait des éléments communs aux ensembles (E^,), on pourrait raisonner de la môme façon, quitte à ne garder jamais que l'un des systèmes {n, p) qui correspondent à des éléments qui se trouvent dans plusieurs ensembles.

Le théorème qu'on vient de démontrer peut s'énoncer sous la forme suivante : Considérons un ensemble fini ou dénombrable (g) dont les éléments soient eux-mêmes des ensembles finis oudénombrables (E) et l'ensemble (g') dont tous les éléments sont les éléments distincts qui appartiennent à quelqu'un des ensembles (E) l'ensemble (g') est dénombrable. En effet, dire que l'ensemble (g) est dénombrable, c'est dire que les ensembles (Ë) peuvent être rangés dans une suite telle que celle qu'on vient de considérer ; on est ramené au cas précédent.

Il serait aisé de déduire de ce théorème les suivants : Considérons l'ensemble (E„) des nombres qui A'érifient l'équation

a^x"- -+- a,x"- " ' -i- ... -{- cin— i X -i- a„ = o

ou a^, est un nombre naturel et a,, a^, ..., a„ des entiers, positifs, nuls ou négatifs : cet ensemble est dénombrable; l'ensemble des nombres distincts qui appartiennent à quelqu'un des ensembles (Ej), (Eo), . . . , (E„) c'est-à-dire des nombres (^) qui vérifient une équation algé-

(') Il n'est question ici que des nomijres réels, puisque les nombres imaginaires ne sont pas encore définis : toutefois le théorème subsiste sans cette restriction.