CHAPITRE II. ENSEMBLES DENOMBRABLES JO

brique entière à coefficients entiers, ou comme on dit encore, des nombres algébriques, est dcnombrable.

79. — L'ensemble des nombres qui appartiennent à un intervalle (a, b) n'est pas dénombrable.

Il suffira (n" 67) de raisonner sur l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) ; et môme sur l'ensemble (E) des nombres, autres que i, qui appartiennent à cet intervalle. Si en effet l'ensemble (E) était dénombrable, il en serait de même de l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i).

Chacun des nombres de (E) est déterminé par sa représentation décimale,

o, «jag^s--- «« ••• '

la partie entière est o, et la mantisse est formée au moyen des chiffi'es o, I, 2, ..., 9 avec cette seule condition que tous les chiffres qui suivent un chiffre donné ne soient pas dos g (n" 18).

Admettons que l'ensemble (E) soit dénombrable, c'est-à-dire qu'on puisse faire correspondre chacun de ses éléments à l'un des nombres naturels i, 2, 3, ... : Soit a„,,, le ?f chiffre de la mantisse de celui de ces éléments qui correspond au nombre naturel /;.

Le n" chiffre de l'élément qui correspond au nombre naturel n devra donc être «„„ ; si la correspondance entre les éléments de (E) et l'ensemble des nombres naturels est réalisée, le chiffre a„„ est, par cela même, déterminé dès que l'on se donne n, en d'autres termes la suite a^^i, «0,2? •••' ^■n,n'--- ^st déterminée. Or, un nombre dont la partie entière serait o, et dans lequel le premier chiffre décimal serait autre que «i,,, le second autre que «o,,, ...,len* autre que a„„,... appartiendrait à l'ensemble (E) et ne pourrait correspondre à aucun nombre naturel n, puisque son n" chiffre n'est pas a„,„. La contradiction est manifeste.

A fortiori, l'ensemble des nombres réels, dont l'intervalle (o, i) est une partie, n'est pas dénombrable. Il y a donc (n° 78), deS nombres qui ne sont pas algébriques ; ces nombres sont dits transcendants.

On dit de tout ensemble qui a la même puissance que l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) qu'il a la puissance du continu.

80. — Un ensemble infini dénombres ou de points auquel n'appartient aucun de ses points d'accumulation est dénombrable.

Supposons d'abord que l'ensemble considéré (E) soit borné en bas et en haut, et soient m, M ses bornes inférieure et supérieure.

Puisqu'aucun point de (E) n'est point d'accumulation, on peut faire correspondre à chaque point a de cet ensemble un nombre a, que j'appellerai le rayon d'isolement de ce point, tel qu'il n'y ait aucun point de (E), autre que a, qui appartienne à l'intervalle {a — a, a -h a) ('). J'imagine qu'on ait établi une telle correspondance. Il est clair que la distance mutuelle de deux points de l'ensemble dépasse le plus grand des deux rayons d'isolement qui leur correspondent. Considérons maintenant les points de (E) pour lesquels le rayon d'isolement dépasse un nombre positif donné o ; leurs distances mutuelles dépassent o : leur nombre est donc fini, puisque, si l'on divise l'intervalle [m, M) en intervalles partiels

(m, Oj), (Cj, a^), ..., {a„. M)

tels que l'écart de chacun d'eux soit moindre que o, il ne pourra y avoir, dans chacun de ces intervalles, qu'un seul des points considérés.

Ceci posé^ considérons une suite de nombres positifs décroissants

Pi» P2» •••» Pn, ••',

tels que l'on ait lim. p,i = o ; on pourra, si l'on veut, prendre

On peut affirmer d'un rayon d'isolement quelconque qu'il est supérieur a. pi, ou bien qu'il appartient à l'un des intervalles (Og, p,), (p3, 0^), ... Soit (Ej) l'ensemble des points de (E) pour lesquels le rayon d'isolement est supérieur à pj ; (Eg) l'ensemble des points de (E) pour lesquel le rayon d'isolement est égal ou inférieur à pj, mais supérieur à p2 î (E3) l'ensemble des points de (E) pour lesquels le rayon d'isolement est égal ou inférieur à p.^,

(') Le choix de ce nombre a, correspondant à a, est arbitraire pourvu que a soit moindre que la distance de a à n'importe quel point de (E^ et à n'importe quel point d'accumulation de (E).