CHAPITRE 11. ENSEMBLES DÉNOMBRAHLES IOQ

mais supérieur à p,, etc.... D'après ce qu'on vient de dire, chacun des ensembles (E,), (E^), (E,), ... ne contient qu'un nombre fini de points (^), et l'ensemble (E) peut être rcgardo3 comme formé par la réunion de tous les ensembles (E,), (E,), (E.,), ... ; il est donc dénombrable (n" 75).

Supposons maintenant que l'ensemble (E) ne soit pas borné ; il peut être constitué par la réunion des ensembles formés respectivement par les points de (E) qui appartiennent aux intervalles bornés par deux nombres entiers consécutifs. Chacun des ensembles partiels est encore tel qu'aucun de ses points ne soit un point d'accumulation ; il est borné et par conséquent fini ou dénombrable. Il en est de même de l'ensemble (E) formé par la réunion de tous les ensembles partiels, puisque l'ensemble des intervalles considérés est dénombrable.

81. — Soit (E) un ensemble infini quelconque et (A) un ensemble fini ou dénombrable, l'ensemble (E) -t- (A) des éléments distincts qui appartiennent soit à l'ensemble (E)^ soit à l'ensemble (A) a la même puissance que l'ensemble (E).

Je supposerai d'abord que les ensembles (E) et (A) n'ont pas d'élément commun. Jusqu'à ce qu'on lève celte restriction, il en sera de même des ensembles dont on aura, dans le cours de la démonstration, à faire la somme symbolique (n° 70), c'est-à-dire dont on réunira les éléments dans un même ensemble.

La proposition énoncée a déjà été établie quand l'ensemble (E) est dénombrable, puisque, alors, l'ensemble (E) + (A) est aussi dénombrable (n° 70) : je suppose, dans ce qui suit, que l'ensemble (E) ne soit pas dénombrable. J'admettrai comme évident qu'il existe un ensemble dénombrable (D) dont tous les éléments appartiennent à (E) (2). Soit alors (E') l'ensemble des éléments de (E)

(1) Quelques-uns des ensembles (E,), (E^), (E3),... peuvent ne pas exister; on n'aura qu'à les supprimer; la conclusion reste évidemment la même.

(2) Lorsque (E) est un ensemble de points, cette affirmation résulte de ce que l'ensemble (E) admet nécessairement un point d'accumulation, et de la remarque du n" 63 ; pour un ensemble quelconque (E), il est clair qu'on ne sera jamais arrêté dans la formation de l'ensemble (D), en prenant successivement un premier élément dans (E\ puis un second, puis un troisième,... quant à une définition plus précise de l'ensemble (D), il ne parait pas y avoir lieu de la cbercher si l'on ne définit pas l'ensemble (E) lui-même.

qui ne figurent pas dans (D), en sorte qu'on puisse poser (E) = (E') H- (D). L'ensemble (E') existe sûrement, puisque, autrement, l'ensemble (E) serait dénombrable ; on peut même observer que l'ensemble (E') ne peut être dénombrable, sans quoi l'ensemble (E) formé de la réunion de deux ensembles dénombrables (E') et

(D) serait encore dénombrable. Comparons les deux ensembles

(E) -+- (A) et (E') -h (D). Le premier peut être regardé comme formé par la réunion des ensembles (E'), (D) et (A) ou encore, comme formé par la réunion des deux ensembles (E') et (D), en désignant par (D') l'ensemble dénombrable (D) -i- (A) des éléments qui appartiennent soit à l'ensemble dénombrable (D), soit à l'ensemble dénombrable (A).

Puisque l'ensemble (E) H- (A) est la même chose que l'ensemble (E') --h (D'), tout revient donc à démontrer qu'on peut établir une correspondance parfaite entre les ensembles (E') H- (D') et (E) = (E') -h (D) : il suffira pour cela de regarder, dans ces deux ensembles, comme se correspondant deux éléments (identiques) qui appartiennent à (E') et deux éléments appartenant l'un à l'ensemble dénombrable (D'), l'autre à l'ensemble dénombrable (D), s'ils correspondent au même nombre naturel.

Si maintenant (E) et (A) ont des éléments communs, et si l'on désigne par (Aj) l'ensemble des éléments de (A) qui n'appartiennent pas à (E), il est clair que l'ensemble (Aj) qui est une partie de l'ensemble fini ou dénombrable (A) est lui-même fini ou dénombrable ; l'ensemble (E) h- (A) est alors identique à (E) H- (Aj) et l'on sait, par la démonstration précédente, que cet ensemble a même puissance que (E).

Si, par exemple, on prend pour (E) l'ensemble des nombres qui constituent l'intervalle (o, i) on pourra prendre pour (D) l'ensemble des nombres rationnels qui appartiennent à cet intervalle : l'ensemble (E') sera l'ensemble des nombres irrationnels qui appartiennent à l'intervalle (o, i) : il a la puissance du continu (n° 77).

On peut exprimer la proposition qui précède en disant qu'un ensemble infini (E) garde la même puissance quand on supprime de cet ensemble des éléments en nombre fini ou formant un ensemble dénombrable, pourvu que l'ensemble restant soit infini. Cette dernière restriction ne concerne d'ailleurs que le cas ou l'ensemble (E) serait dénombrable.

CIIAPirnE H. ENSEMBLES DÉNOMBUABLES III

Il est aisé de conclure de là que l'ensemble des nombres réels a la puissance du continu (n° 79).

En elTct, l'ensemble (P) des nombres positifs et du nombre o a la même puissance que l'ensemble des nombres, autres que i, qui a[)parLiennent à l'intervalle (o, i), comme on le voit en faisant correspondre à chaque nombre x du premier ensemble le

nombre — — du second ensemble.

L'ensemble (N) des nombres négatifs a la même puissance que l'ensemble des nombres, autres que o et — i, qui appartiennent à l'intervalle ( — i, o), comme on le voit en faisant correspondre à

chaque nombre £C du premier ensemble le nombre — '^- — - du second.

Donc l'ensemble des nombres réels a la même puissance que l'ensemble des nombres, autres que — i et i, qui appartiennent à l'intervalle ( — i, i), la même puissance encore que l'ensemble, sans restriction, des nombres qui appartiennent à l'intervalle ( — \, i), ou (n'' 67) à l'intervalle (o, i).

82. — Les n°' 50, 55, 63, 72,... laissent prévoir l'importance du rôle que jouent les points d'accumulation d'un ensemble. Soit (E) un ensemble infini ; l'ensemble de ses points d'accumulation est ce qu'on appelle l'ensemble dérivé de (E) ; je le désignerai par (E'). Si l'ensemble (E') n'existait pas, si l'ensemble (E) n'avait pas de points d'accumulation, on pourrait affirmer que l'ensemble (E) est dénombrable. Si l'ensemble (E') est infini et admet des points d'accumulation, ceux-ci forment un ensemble (E"), l'ensemble dérivé de (E') ou le second dérivé de (E), etc..

Si l'ensemble dérivé (E') de l'ensemble (E) est fini ou déncm brable, l'ensemble (E) est lui-même dénombrable.

Cette proposition a déjà été établie au n° 72 dans le cas où (E') est fini ; dans le cas ou (E') est infini, il suffit de se rappeler que si l'on supprime de (E) les points de (E'), l'ensemble restant (E^ est dénombrable (n° 80) : on en conclut que l'ensemble (E), réunion de deux ensembles dénombrables est lui-même dénombrable (n° 70). En remontant de proche en proche, on voit que si l'un des ensembles dérivés (E'), (E"), ... est fini ou dénombrable, (E) est forcément dénombrable.

83. — Un ensemble (E) est dit clos (ou fermé) s'il est borné (en bas et en haut) et s'il contient tous ses points d'accumulation, si, en d'autres termes, l'ensemble dérivé (E') de (E) est contenu dans (E).

L'ensemble (E) est isolé s'il ne contient aucun de ses points d'accumulation; il est alors dénombrable (n^SO).

Il n'est ni clos ni isolé, s'il contient quelques-uns de ses points d'accumulation sans les contenir tous. Dans tous les cas, pourvu que l'ensemble (E) soit borné (en bas et en haut) l'ensemble (E) H- (E') des points qui appartiennent soit à (E) soit à son dérivé (E') est clos. Si, d'un ensemble infini, clos ou non, on supprime tous les points d'accumulation, l'ensemble isolé qui subsiste est fini ou dénombrable.

L'ensemble (U) des nombres distincts qui appartiennent à la suite «1, u.^, ..., u„, ..., pour laquelle je suppose qu'on ait lim. u„ = A, est, en le supposant infini, clos ou non, suivant qu'il

y a, ou qu'il n'y a pas, de terme de la suite qui soit égal à A. L'ensemble des nombres réels plus grands que o et plus petits que I n'est pas clos, puisque o et i sont des points d'accumulation de cet ensemble, qui ne lui appartiennent pas.