CHAPITRE II. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES Il

tion de (E)] qui sont aussi voisins qu'on le veut de a'; il y a donc des points de (E) aussi voisins qu'on le veut de a!, en d'autres termes a' est un point d'accumulation de (E), donc a appartient à

L'ensemble (E') est donc clos.

86. — Un ensemble (E) borné en haut et en bas, est dit parfait lorsqu'il est identique à son dérivé. En d'autres termes (E) est parfait, s'il est clos, et si chacun de ses points est un point d'accumulation. Par exemple l'ensemble des nombres réels qui appartiennent à un intervalle (a, b) est parfait.

L'ensemble des nombres rationnels qui appartiennent à l'intervalle (g, i) est bien tel que chacun de ses points soit un point d'accumulation ; mais tout nombre irrationnel qui appartient à ce même intervalle est évidemment un point d'accumulation de l'ensemble des nombres rationnels qui, ainsi, n'est ni clos, ni parfait.

87. — Un ensemble (E) est dit dense dans un intervalle (a, b) si tout point de cet intervalle est un point d'accumulation pour l'ensemble. Par exemple l'ensemble des nombres rationnels, ou l'ensemble des nombres irrationnels, est dense dans tout intervalle.

Un ensemble dense dans tout intervalle peut être dénombrable.

Un ensemble (E) est non-dense dans un intervalle (a, b), s'il n' a aucun intervalle (a', b') (non nul), contenu dans (a, b), tel que l'ensemble (E) soit dense dans (a', 6').

(') Cette proposition a déjà été établie au n° 64, mais dans un sens un peu différent, puisqu'il s'agissait alors des points d'accumulation d'une suite, non d'un ensemble.

Tannery I, — Introduction à la lliéorie des fonctions