Si l'on se donne la suite

Si, s^, .

on peut former une série

dans laquelle la somme des n premiers termes sera Sn : il suffit, en regardant les quantités Sn comme données, de déterminer les u,,^ par les équations

ou

Ui=Sj, 11,=: s, Sp ..., U„ = Sn ■S„i,

On voit par là comment, en partant d'une suite qui a une limite, on peut former une série convergente qui a cette limite pour somme, comment, en partant au contraire d'une suite qui n'a pas de limite, on peut former une série divergente : et il est manifeste que l'on pourra former des séries^ dans lesquelles la somme des ii premiers termes présentera, quand 72 augmente indéfiniment les diverses circonstances décrites aux n°^ 52, 60, 63. Cette somme pourra grandir indéfiniment, osciller entre certaines limites, etc.

Si, par exemple, on prends,, = i , il est clair qu'on a

valeurs que doit prendre n ; ainsi, il m'arrivera fréquemment de dire « la série > Un >) au lieu de « la série dont le n" terme est u„ ».

Cette façon de parler doit être évitée avec soin quand il peut y avoir quelque ambiguïté.

(*) Des travaux récents, dont il ne sera pas question ici, ont montré qu'on pouvait leur attribuer une signification dans certains cas et les utiliser, avec certaines précautions, dans les raisonnements et les calculs. Voir en particulier les Leçons san les séries divergentes de M. Borel.