CHAPITRE m. DÉFINITIONS. CONVERGENCE AUSOLUE II

lim. Sn= ï ; la série dont le n° terme a,, est égala

c'est-à-dire la série

est convergente et sa somme est égale à i . Si l'on prend

il est clair que s», pour les grandes valeurs de n, sera voisin de - ou de suivant que n sera pair ou impair ; dans la série dont

le n^ terme est

i -+- ( — ij"n (n -h i) 71 (n -h 1)

c'est-à-dire dans la série

la somme des n premiers termes, pour les grandes valeurs de n, est

voisine tantôt de ~ , tantôt de : la série est divergente.

En partant d'une suite s^, s^, ..., pour laquelle on aurait lim. Sn = -\- oc , on formerait une série divergente, dans laquelle

la somme des n premiers termes grandirait indéfiniment avec n. Considérons encore l'identité

lorsque n augmente indéfiniment, le second membre (n° 62) a

pour limite quand x est plus petit que i en valeur absolue,

et augmente indéfiniment, en valeur absolue, quand x est, en valeur absolue, plus grand que i. On en conclut que la série

Il8 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

est convergente et a pour somme — — — , quand on a [ a? J < i ,

qu'elle est divergente quand on a | £c | >» i : on voit encore, directement, qu'elle est divergente pour a? = i , puisque la somme de ses n premiers termes est égale à n ; pour £c = • — i la série se réduit à

i — i-f-i — i-hi ....

la somme de ses n premiers termes est alternativement i et o, elle est divergente.