Si la série

(u) «1 H- M^ H- ... -+- ii,i H- ...

est convergente, on peut grouper ensemble des termes qui se suivent^ par exemple les a^ premiers termes, puis les a.^ termes suivants, puis les a^ termes suivants, .,.; la série

(v) Vj H- v^ H- Vg -t- . . .

où l'on supposera

sera convergente et aura même somme que la proposée ; en effet la somme de ses p premiers termes sera s^ |a^ ^ ^ « , en désignant par Sn la somme des n premiers termes de la série (u) : or si la suite Si., s^, .Ç3, ... a une limite, on sait que cette limite est la même que celle de la suite s,^ , 5„ , ... s^ , ... dans laquelle n^, n^, ... iij,, ... est une suite quelconque d'entiers qui croissent indéfiniment (n° 73). Réciproquement si l'on part d'une série (u) dont les termes soient chacun des sommes de termes mis entre parenthèses, on peut supprimer ces parenthèses et transformer la série (v) en une série telle que («), pourvu que cette dernière soit convergente. Cela résulte du théorème direct Q).

(^) La convergence de la série {v), si on la suppose, n'implique pas la convergence de la série (a) ; on verra plus tard, toutefois, que la convergence de l'une quelconque des deux séries implique celle de l'autre, si elles sont toutes deux formées de termes positifs ou nuls.

= ^ Un,

= OCj+I

CIIAPITllE m. DÉFINITIONS. CONVERGENCE ABSOLUE II Q

91. — Il serait naturel tle dire, par analogie avec les séries, que le produit infini