OU

est convergent quand la suite infinie

(p) Pi, Pi^ •... Pn, ....

dans laquelle on suppose

Pi = «1' /^â = «1«2' •••' Pn= U^n^ ... Un, ...,

a une limite et d'appeler valeur du produit infini la limite de /),„ pour n infini ; toutefois, pour le moment^ je ne regarderai un tel produit comme convergent que si cette limite est différente de o ; ainsi le produit infini

III I

pour lequel on a

^"=1.2.3... n' tend et qui vers o quand n augmente indéfiniment, ne doit

(') Le signe j i s'emploie pour les produits de la même façon que le signe ^ ' pour les sommes (note du n" 88) : ainsi n :=z r

n = I ont même signification que u^Ui .., u,; le symbole

a la même signification que u,,u,, + i ... iip + q-, si q était nul, on lui donnerait le même sens qu'à Up, etc..

I20 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FOjVCTIO>'S

pas être regardé comme convergent ; un produit infini convergent, dans le sens restreint du mot, ne peut admettre aucun facteur nul. L'identité

an+i

montre que le produit infini | j (i + ^3*") est convergent, (et que sa

valeur est ), quand la valeur absolue de x est plus petite

que I. Le même produit est divergent pour les autres valeurs de X.

Au reste, on peut faire sur les produits infinis une remarque toute pareille à celle que l'on a faite sur les suites : Si l'on part de la suite infinie pj, p^, ..., pn, ..., dans laquelle on supposera seulement qu'aucun terme ne soit nul, le produit infini UyU^, ... Un, ..., où l'on a posé

p.) Pn

Pi Pu-.

sera tel que le produit de ses n premiers facteurs soit pn ; les conclusions sont pareilles à celles du n° 89.

92. — Il est clair que les deux séries (■S) «j + «2 H- •••• H- «« -+- «w + i -+- •••.

sont convergentes ou divergentes en même temps, car si l'on désigne par Sn la somme des n premiers termes de la première, par y,', la somme des r premiers de la seconde, on aura 5„ + r = Sn H- 5,., quel que soit le nombre naturel r ; puisque ,?„ en fixe, il est clair que si, pour r infini, l'une des sommes s\., 5,j^,, a une limite. Il en est de même de l'autre ; il est clair aussi que la différence entre leurs limites, si elles existent, est égale à Sn. Les séries sont convergentes ou divergentes en même temps. Dans le cas de