CHAPITRE m. DEFINITIONS. C0NVER0R:SCR ABSOLUE T :? I

la convergence, la somme de la série S' s'appelle le reste de la série S, limitée au n" terme.

De même, si Tun des deux produits infinis

U^UJ ... «n^îz 4- ) "îi + 2 •••■> f^n A 1 ^n-T-i ••• f'n + ;; • • • j

est convergent (au sens- du n° 91), il en est de même de l'autre, et, dans ce cas, la valeur du premier produit infini est égale à celle du second multipliée par n^ll^ ..., iz„.

Cette remarque est utile lorsqu'on a à décider de la convergence ou de la divergence d'une série ou d'un produit infini dont les premiers termes présentent quelque irrégularité.

93. — En se reportant au n° 54, on aperçoit immédiatement la vérité des propositions suivantes.

Si les séries

«1 -h Uo -h ... H- «„ H- ..., Ui H- l'o -i- ... H- Vn -+- ...,

sont convergentes et admettent pour sommes les nombres S

es séries

a«i -i- awj -H ... -h aUn -\- .

(«1 — Vi) -h («2 — U.) + ••

sont aussi convergentes et admettent pour sommes aS, S -f- T, S — T ; le lecteur trouvera sans peine ides énoncés analogues pour les produits infinis. Il est clair que la proposition concernant la somme de deux séries s'étend à un nombre fini quelconque de séries.