D'après la proposition du n° 56, pour qu'une série

(S) Ui^ -h Ui -+- ... -4- Un -+- ...

soit convergente il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif z corresponde un nombre naturel r tel que l'on ait, en désignant par Il et m des nombres naturels

I s„ ,. ,„ — s„ I = I «„ ^ j -4- n,^ j . 4- ... -\- u„ + ,„ I < £. sous la seule condition n >> r. En particulier, si la série est couver-

122 I^^TRODUGTION A LA THEORIE DES EOIVCTIONS

geiite,u„ ^ 1 = 6'„ ^ 1 — Sn doit tendre vers zéro, quand n augmente indéfiniment ; cette dernière condition ne suffit pas d'ailleurs à la convergence, comme on le verra plus tard. De la proposition générale résultent immédiatement celles-ci :

Quand une série est convergente et a tous ses termes positifs, elle reste convergente quand on modifie le signe de tel terme que l'on veut, ou quand on remplace un ou plusieurs termes par des nombres plus petits, en valeur absolue ; en efTet, dans la série modifiée, la somme \ iin + i -^ t^n + 2 ~^ ••■ «n + m I 6st au plus égale à la somme analogue dans la série proposée.

Quand une série a tous ses termes positifs et qu'elle est convergente, il en est de même de toute série qui s'en déduit par la suppression d'un nombre fini on infini de termes, de tous les termes de rang pair par exemple. On retrouvera plus tard ces propositions en suivant une autre voie.

Considérons le produit infini

(P) , lhU2 ... Un ..-,

dont je suppose qu'aucun facteur ne soit nul ; je désignerai par p„ le produit des n premiers facteurs. Pour que ce produit p„ ait une limite quand n augijiente indéfiniment, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif s réponde un nombre naturel /' tel que l'on ait, quels que soient les nombres naturels /i >> 7" et m,

(l) \ Pn + m P« 1 = I P« M I — «n-M";! + 2 ••• «n-l-TO 1 "< £•

Or, si le produit P est convergent, la limite depn, pour n infini, est différente de o ; par conséquent les termes de la suite pi, p^, .•■, pn, ... seront, à partir d'un certain rang o, supérieurs en valeur absolue, à un nombre positif a ; si Ton désigne par jj le plus petit des nombres \Pi\,\ p^], .,.,\ Pq\-> ''-^-^ dont aucun n'est nul, l'inégalité (i) entraînera l'inégalité

et cela, quel que soit le nombre naturel m ; en remplaçant s par ^'/], on peut dire encore que, si le produit infini (P) est convergent, au sens du n° 91 , à chaque nombre positif yj doit correspondre un