CHAPITRE 111. DÉFIiNITIO>'S, CONVERGENCE ABSOLUE

nombre naturel /• Ici qu'on ait, quels que soient les nombres naturels n >■ r et m.

(2) I P^+l" U=, I t W„ + i«„^.; ... Un + ni I < •';•

I Pn I

Inversement, si à chaque nombre positif r/ correspond un nombre naturel r tel que l'inégalité (2) soit vérifiée quels que soient les nombres naturels n > r et m, le produit infini (P) sera convergent au sens du n° 91.

Tout d'abord, sicette condition est vérifiée, les nombres /)j, p.2, ... sont tous inférieurs, en valeur absolue, à un nombre positif fixe A. En effet si, le nombre v; étant choisi arbitrairement, on lui fait correspondre le nombre naturel 7' de manière que l'inégalité (2) soit vérifiée, on aura, quel que soit le nombre naturel n ^ r,

cette inégalité est évidente pour n ^= /• + i ; elle résulte pour les valeurs de n supérieures à /' -t- i, de l'inégalité (2) où l'on remplace n par r -h i et /i -1- m par n. Or l'inégalité (3) entraîne \ Pn I <C (i -^ 'I) 1 Pr+i I» 6n vertu de la note du n" 54: tous les nombres p^, p^, ... seront donc inférieurs ou égaux au plus grand A des n<5rnbres \p^\, \ p^ |, ..., \pr \, (i 4- v;) |p,. + i I-

Dès lors, il suffira, dans l'inégalité (2) de remplacer y; par -r-

pour voir qu'à chaque nombre positif ■ correspond un nombre naturel r tel que l'on ait \Pn + m — Pn \ <i -, quels que soient les nombres naturels n >> /' et m. Il en résulte (n° 56) qne p,, a une limite pour n infini ; cette limite n'est pas nulle, car l'inégalité (3) entraîne aussi ] p,, \ > (i — y;) 1 p^j^ 1 |, en supposant que Yj ait été pris plus petit que i .

En particulier, pour que le produit infini (P) soit convergent, il faut que la quantité | i — 11,, \ tende vers o quand n augmente indéfiniment ; cette dernière condition, toutefois, n'est pas suffisante.

On a l'habitude, qui sera suivie désormais, d'écrire un produit infini sous la forme

(l -f-l'i) (l -+- l'i) ... (t + Vn) ... ;

alors, si le produit infini est convergent, les quantités i'„ tendent vers o quand n augmente indéfiniment. J'appellerai i'„ le n" terme, 1 -h ihi le n" facteur du produit infini.

95. — Si la série u^ -h ii^ + ... 4- a„ -f- . . . a tous ses termes ou positifs ou nuls, les termes de la suite

vont constamment en croissant, ou plutôt ne décroissent jamais. Par conséquent, ou bien 5„ tend vers une limite qui est alors (n° 57) la borne supérieure de l'ensemble des nombres distincts de la suite 5j, ^2, ^3, ..., ou bien Sn croît indéfiniment avec n. On est dans le premier cas, et la série est convergente, si 5„ reste, quelque soit, n, inférieur à un nombre fixe A ; alors la somme de la série est au plus égale à A, et il en est de même de la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans la suite u^, u.^, ..., puisque l'on peut prendre n assez grand pour que la somme Sn enveloppe tous ces termes. On est dans le second cas, et la série est divergente lorsque, quelque soit le nombre positif A, on peut prendre dans cette suite assez de termes pour que leur somme dépasse A.

Une série à termes positifs ou nuls est donc convergente ou divergente suivant que l'ensemble (E) des nombres distincts que l'on obtient en faisant la somme de tels termes de la série que l'on voudra est borné en haut, ou ne l'est pas. Soit S la somme de la série supposée convergente. Tout élément de (E) est inférieur ou égal à S.

D'ailleurs, si a est un nombre plus petit que S, il y a dans la suite s^, s 2, ..., Sn, ..., et par suite dans (E) un terme plus grand que a. En d'autres termes. S, que l'on savait être la borne supérieure de l'ensemble des nombres distincts contenus dans la suite 5i, s,, ..., s,i, ... est aussi bien la borne supérieure de l'ensemble (E). S ne peut d'ailleurs appartenir à (E) que dans le cas où tous les termes de la série, à partir d'un certain rang, sont nuls.

Puisque l'ensemble (E) ne dépend pas de l'ordre des termes delà série, la convergence ou la divergence d'une série à termes positifs

GHAPITUE III. DEI'INITIOINS. CONViaiGENCK AI'.SOLUE 120

OU nuls, la somme d'une telle série supposée convergente, ne peuvent non plus dépendre de cet ordre (';.

On voit aussi que si une série à termes positifs ou nuls est convergente, il en est de même de toute série déduite de la première eh ne conservant qu'une partie de ses termes, ou on remplaçant certains de ses termes par des nombres, toujours positifs ou nuls, qui leur soient respectivement inférieurs ou égaux. La somme de la seconde série est inférieure ou égale à la somme delà première. En particulier, la somme d'autant de termes qu'on voudra, pris après le n^, est au plus égale au reste.

Considérons par exemple la série

a a- a' rr 1 H \ 1 5 4- H 1- ....

oij a est un nombre positif quelconque ; si l'on suppose n égal ou supérieur à la partie entière de a, les termes qui suivent le dernier de ceux qu'on a écrits sont respectivement égaux ou inférieurs à

i.2...;i/iH-i i.2...n\/i4-i/ I.2.../i\/t-j-i

lesquels forment une série convergente dont la somme est

en sorte que les termes qui suivent le (n + 1)" dans la série proposée forment une série convergente; la série proposée est donc ellemême convergente et son reste, quand on la limite au (/i -h i^" terme, est moindre que la quantité qu'on vient de calculer.

Les propriétés évidentes des séries à termes positifs ou nuis sur lesquelles on vient d'appeler l'attention suffisent à établir l'importante proposition que voici.

(1) Ou a défini au 11° 74 ce que c'est que deux suites composées des mêmes termes rangés dans un ordre différent : cette définition s'applique immédiatement à deux séries.