La série

III I

|i + a ^ 31-ra -^ ••• ,^l-^°'

€st convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif^).

Considérons en effet les termes de cette série qui correspondent à ceux des nombres entiers qui admettent un même nombre de chiffres, p par exemple; il y a 10^ — 10'' ~ = 9 x 10 tels nombres; chacun d'eux est supérieur ou égal à 10'' et plus petit que 10^'; chacun des termes correspondants de la série est donc

inférieur ou égal à — [p—y)n -t-a) ^^ P^^^ grand que — ^,^^ ^ aj > et

leur somme est comprise entre

9 X io''~* 9 9 X To''~^ 9

Ceci posé, désignons par s^ la somme des n premiers termes de la série (i), on pourra prendre dans la série

10^ 10'* ■ lou^— 'J*

assez de termes pour que leur somme dépasse Sn : or, si a est positif, les termes de la série (2) sont les termes d'une progression

géométrique décroissante dont la raison est — r ; la somme d'autant

de termes que l'on veut est inférieure à