CUAPITUE III. — DÉFINITIONS. CONVERGENCE ABSOLUE 12'J

La série (i) est convcrgcnle.

De môme, quel que soit le nombre de termes que l'on prenne dans la série

(3) ^^TT^ + ^^.V.a + - + ^^,-..a + -.

on peut prendre n assez grand pour que s,i dépasse la somme de ces termes : or, si a est nul ou négatif, les termes de cette suite

sont égaux ou supérieurs à y^ ; on peut prendre assez de ces termes pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra ; dans ce cas la série (i) est divergente ; si a est positif, on voit que l'on pourra toujours supposer n assez grand pour que l'on ait

en sorte que, dans ce cas, la somme de la série (i) est comprise

entre

9 9- lo* .

lO lO lO — I

on aurait pu faire le même raisonnement en supposant que la base de la numération fût un nombre entier positif quelconque a, autre que I, et l'on aurait trouvé pour les deux nombres entre lesquels la somme de la série doit être comprise,

97. — La proposition précédente est un cas particulier d'un théorème dû à Cauchy, et dont la démonstration est, au fond, dentique à celle qu'on vient de lire. Voici ce théorème (*).

Soit

(u) Hj -f- «2 + '•• -1- «n + •••.

une série à termes positifs, pour laquelle je suppose qu'on ait

(1) Dans les Leçons sur les séries à termes positijs de ^I. Borel, on pourra en voir toute la portée.

M„-f 1 ^ Un, pour toutes les valeurs de n. Si, en désignant par a un entier quelconque plus grand que i , on pose en général

Vn = a" lia'',

la série [a] sera convergente ou divergente en même temps que la série

Si l'on suppose q ^p, la somme des q — p termes consécutifs de la série (u), dont le premier est Up et le dernier Ug i est comprise entre [q — p) iiq et [q — p) u^,, ou bien égale à l'une de ces quantités, à cause de la supposition u„^i g ii„. Ceci posé, soient (X., ^, ..., [x, V des nombres naturels croissants : appliquons la remarque précédente aux groupes de termes de la série (u) formés par les a — i premiers termes, les |3 — a termes suivants, les 7 — ^ suivants, ,.., les v — [x suivants ; on en conclura que la somme Sv— i des v — i premiers termes de la série (u) est comprise entre les deux quantités

(a — i) 11^ H- (p a) «p 4- (^ — ?) u,^ -^ ... H- (v — (a) u^, (a — i) u, + (p — a) u^ -\- (y — p) up + ... 4- (v — ,^) u^,

ou bien égale à l'une ou à l'autre.

Si maintenant on suppose que les nombres a, jS, y, ... forment une progression géométrique de 7' -h i termes, dont la raison et le premier terme soient égaux au nombre entier a, plus grand que i , on aura

P — rj. =z a{a — i), Y — ^=.ar{a — i), ..., v — [j. = a''(a — i);

si l'on se reporte à la définition de la série (y) et si l'on désigne par T„ la somme des n premiers termes de cette série, on voit qu'on a établi les inégalités

T^ + i ^ Sv— I ^ (a — i) («1 + T,.),

qui contiennent la démonstration de la proposition énoncée ; en effet si la série (u) est convergente, T,- reste inférieur à un nombre fixe, donc aussi Sv i, quel que soit /' ; comme v — i ==: a''+ ^ — i