CHAPITRE III. DKFINITIOS. CONVEHGE.NCE AHSOLlJE I

peut dcpassscr tel nombre qu'on voudra, la somme d'aulant de termes qu'on voudra, dans la série (a), est inférieure à un nombre fixe : celle série est convergente. Au contraire, si la série (u) est divergente, T,^^ et par suite Sv — ,, peut dépasser tel nombre qu'on voudra : la série {u) est divergente. En prenant

rr

on a

la série (y) est une progression géométrique dont la raison est a-<^, convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif : on retrouve le théorème du numéro précédent.

98. On dit qu'une série est absolument convergente, lorsque la série obtenue en y remplaçant chaque terme par sa valeur absolue est convergente. Qu'une série absolument convergente, en ce sens, soit convergente au sens cjui a été donné à ce mot au début de ce chapitre, c'est ce qui a été déjà démontré n° 94. Au surplus, on va le prouver directement et démontrer en même temps que la somme d'une série absolument convergente est la différence entre les sommes de deux séries formées, l'une avec les termes positifs, ■ l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs de la série proposée.

Soit (S) une série absolument convergente, contenant une infinité de termes positifs et de termes négatifs ; soient (S') et (S") les deux séries formées, l'une avec les termes positifs de (S) rangés dans l'ordre où ils se présentent dans (S), l'autre aA'ec les valeurs absolues des termes négatifs de (S) rangés aussi dans T ordre où ils se présentent. Soit 2 la somme de la série formée avec les valeurs absolues des termes de (S) ; soit enfin Sn la somme des n premiers termes de (S), s'n la somme des n' termes positifs compris parmi ces n termes et s''^ la somme des valeurs absolues des n" termes négatifs contenus dans s,j. On a :

Tannehy I. — Introduotion à la théorie des fonctions 9

l3o INTRODUCTIOT^ A LA THEORIE DES FO>JCTIO?<S

Quand n augmente, s',, et < ne diminuent jamais ; quand n augmente indéfiniment, ces mêmes sommes s^ elsl[, toujours inférieures à 1, tendent vers des limites S', S" et, par suite, Sn = < — s", tend vers la limite S' — S" ; il est d'ailleurs bien aisé de voir que S', S" sont les sommes des séries (S'), (S") ; d'abord ces séries sont convergentes, puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris dans l'une ou dans l'autre, ne peut dépasser 1 ; puis, quand n augmente indéfiniment, il en est de même de Ji' et de n", sans quoi il n'y aurait dans (S) qu'un nombre limité de termes positifs ou négatifs ; donc, lorsque n augmente indéfiniment, s.', et s',[, c'est-à-dire les sommes des n' premiers termes de la série (S') d'une part, des n" premiers termes de la série (S") de l'autre, ne peuvent tendre vers d'autres limites que les sommes respectives S', S" de ces séries. C'est ce qu'il fallait établir.

S'il n'y avait, dans la série absolument convergente donnée, qu'un nombre limité de termes négatifs, par exemple, la somme de la série serait encore S' — S", en conservant à S' sa signification et en désignant par S" la somme des valeurs absolues des termes négatifs.

99. — Dans une série absolument convergente, on peut, sans changer la somme de la série, changer l'ordre des termes.

La signification qu'il faut attribuer à cette expression a changer l'ordre des termes » a été précisée au n" 74, à propos des suites.

La proposition énoncée a été établie au n" 95 pour ce qui concerne les séries à termes positifs.

11 suffit de se rappeler qu'une série absolument convergente est égale à la différence entre les sommes de deux séries à termes positifs formées, l'une avec les termes positifs de la série proposée, l'autre avec les valeurs absolues des termes négatifs, et d'observer que, en vertu du précédent raisonnement, les sommes de ces deux séries restent invariables quand on modifie l'ordre de leurs termes pour être bien assuré qu'on peut, sans changer la somme d'une série absolument convergente, changer l'ordre de ses termes.

On verra plus loin qu'il n'en est pas de même pour les séries qui ne sont pas absolument convergentes. Toutefois, même pour celleslà, il est clair que Ton peut changer l'ordre d'un nombre fini de