NOMBRES IRRATIONNELS

I. INTRODUCTION DES NOMBRES IRRATIONNELS OPÉR.VnONS FONDAMENTALES

1. — L'idée de nombre se forme par une suite de généralisations. Le point de départ est le nombre entier ; les définitions et propositions concernant les quatre opérations fondamentales sur les nombres entiers forment l'objet des premiers cbapitres de l'arithmétique ; on introduit ensuite les fractions, qui peuvent être regardées comme des couples de nombres entiers; les définitions de l'égalité et des opérations fondamentales doivent être reprises sur ces nouveaux nombres ; au début de l'algèbre on introduit une notion nouvelle, celle des nombres affectés de signes ou nombres relatifs ; un tel nombre n'est autre qu'un des nombres définis en arithmétique, précédé du si^^iie -b .oujiu signe — : Ici encore, on doit reprendre à nouveau les définitions de Tégafité et des opérations fondamentales.

Ces extensions successives se justifient à deux points de vue. Au point de vue concret, la définition des fractions (qui embrassent

Tannery 1. — Intro.luclion à la tliéoiie des fonctions 1

d'ailleurs les nombres entiers), 23ermetd'exprimer la mesure d'une grandeur commensurable à l'unité ; la définition de l'égalité de deux fractions est telle que deux fractions égales mesurent une même grandeur ou des grandeurs égales ; la définition de la somme ou de la différence dedeux fractions est telle que la somme ou la différence de deux fractions mesure la somme, ou la différence, des deux grandeurs que mesurent ces deux fractions ; la définition du produit de deux fractions a, b, dont la première mesure la grandeur A quand on prend la grandeur B pour unité et dont la seconde mesure la grandeur B quand on prend la grandeur C pour unité^ est telle que le produit ab mesure la grandeur A quand on prend G pour unité. La définition de la division de deux fractions a, b qui

mesurent les grandeurs A, B est telle que le quotient j soit la mesure de la grandeur A quand on prend la grandeur B pour unité.

De même, en algèbre, les nombres relatifs s'introduisent naturellement pour mesurer les grandeurs susceptibles d'être comptées dans deux sens opposés, en particulier les vecteurs portés par une même droite, quand on a fait cboix, sur cette droite, d'un vecteur unité, dont la longueur est l'unité de longueur, dont le sens est le sens des vecteurs positifs de la droite. Les définitions de l'égalité de l'addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division des nombres relatifs sont choisies de manière que les propriétés qu'on vient de rappeler subsistent pour les vecteurs et les nombres relatifs qui leur correspondent ; elles se justifient en outre dans d'autres interprétations, en particulier par la généralité des formules relatives au iTiouvement uniforme, sur une droite.

D'autre part, il importe évidemment de constituer les mathématiques en évitant, dans leur développement, tout appel à l'intuition expérimentale. Que la notion de nombre entier elle-même réstilte ou non de l'expérience, c'est là l'objet de discussions purement philosophiques, dans lesquelles je n'ai nullement la prétention d'entrer. Mais l'intérêt qu'il y a à constituer l'analyse avec cette seule notion et celle de Vinjîni, qu'elle implique déjà, est assez évident. Quand on se place à ce point de vue, qui sera ici prédominant, les définitions successives des nombres et des opérations, lors même qu'on n'en oublie pas l'origine expérimentale, doivent être présentées abstraitement; c'est ce qui, comme on

GIÏAPITRK l. NOMHUES IRRATION^KLS 3

sait, n'offfc aucune difriciiUo scrieiisc, pour celles que jo viens de •rappeler.

On voit alors, d'un côté, cpic chaque généralisation de la notion de nombre permet de définir des opérations qui n'avaient |)as de sens avant cette généralisation, de l'antre, que les propriétés londaincntales des opérations, observées sur les nombres entiers, subsistent pour les nouveaux nombres. Cette permanence des propriétés fondamentales justifie les définitions introduites, et l'on peut dire que ces définitions ont été introduites en vue de cette permanence.

Les nombres dont il a été question jusqu'ici sont les nombres rationnels; l'ensemble des nombres rationnels est formé par le nombre o, les nombres positifs et négatifs dont la valeur absolue est, soit un nombre entier, soit une fraction à termes entiers. Je suppose acquises les l'ègles relatives au calcul de ces nombres.

Une nouvelle extension de l'idée de nombre concerne les nombres irrationnels : cette extension a sa place en arithmétique ; il conAdent toutefois de la reprendre au début de l'analyse, d'autant que plusieurs des notions et démonstrations que l'on rencontre en analyse, dépendent de la façon dont elle a été présentée.