Avant de l'aborder, je ferai les remarques suivantes

Etant donné un nombre rationnel positif quelconque, il existe des nombres rationnels positifs plus petits que lui : on les obtient, par exemple, en augmentant le numérateur de la fraction à termes ■entiers qui le représente; on peut en obtenir ainsi une infinité, c'est-à-dire plus de 7i, quelque soit n.

Etant donnés deux nombres rationnels quelconques, non égaux, iil existe une infinité de nombres rationnels compris entre eux : on ■obtient l'un quelconque d'entre eux en ajoutant au plus petit •des nombres donnés un nombre positif, nioindre que leur dilTéirence.

Puisqu'il y a des nombres rationnels entre un nombre raitionnel donné a et n'importe quel nombre rationnel h plus petit que a; il ne peut exister, parmi les nombres rationnels plus petits -que a, un nombre rationnel h qui soit plus grand que tous les autres ; de même, parmi les nombres rationnels plus grands qu'un nombre rationnel donné, il n'y en a aucun qui soit plus petit que .tous les autres.

3. — Soient s un nombre rationnel positif et A un nombre rationnel quelconque ; la théorie de la division des nombres entiers per-

met de mettre, et cela d'une seule façon, le nombre , sous la forme

d'un nombre entier n, positif, nul ou négatif, et d'une fraction s',. positive ou nulle, plus petite que i . Le nombre n est la partie en-

tière de 7 et l'on a /Zc ^ A < [n -h 1)1. En d'autres termes encore,

si l'on considère la progression indéfinie dans les deux sens (')

ou bien ce nombre A est l'un des termes ni de cette suite, ou bien, il tombe entre deux termes consécutifs ni, (11 -H 1)1, en désignant par n un nombre entier, positif, nul ou négatif; m est la valeur approchée par défaut de A, à s près ; [n -t- 1)2 est la valeur approchée de A par excès, à i près. La dilTérence entre A et ses valeurs approchées est moindre en valeur absolue que i, à moins que sa valeur approchée par défaut ne soit précisément A, auquel cas la différence entre A et sa valeur approchée par excès est i.

Remarquons, en passant, que la valeur approchée de A, par défaut, est plus grande que A, en valeur absolue, quand A est négatif. Si A est positif et n'est pas égal à sa valeur approchée, par défaut, à c près, la valeur approchée de — A, à î près, par défaut, est égale à la valeur approchée de A à i près, par excès, changée de signe.

4. — Avant d'aller plus loin, plaçons-nous à un point de vue géométrique.

Dans le présent chapitre, on n'aura besoin que d'une droite,,, qu'on pourra supposer être toujours la même. Les considérations relatives au plan et à l'espace n'interviendront pas.

J'emprunte à la géométrie de la droite les notions, axiomes, définitions ou propositions qui suiAi-ent, sans me préoccuper autrement de ]3ur ordre ou de leur dépendance. Les considérations-

(^ G'est-à dire que chaque terme est précédé et suivi d'un autre terme. En parlant simp ement d'une suite indéfinie, j'entendrai une suite de termes oii il y a un prem'er terme, et où chaque terme est suivi d'un autre terme; telle est par exemiile la suite des nombres naturels i, 2, 3.,...

CHAPIXnE 1. NOMBRES IUUA.TIONNKLS '.}

géométriques et les figures ne seront clans ce qui suit que dos aides, comme les mots pour la pensée. L'étude des axiomes géométriques est en dehors du sujet auquel j'entends me limiter (' ..

La droite s étend indéfiniment, de deux côtés, à partir d'un quelconque de ses points. On sait ce ([u'on entend en disant qu'un point est entre deux autres. Entre deux points d'ime droite il y a un point, et par conséquent une infinité de points, de cette droite. Sur trois points distincts, il y en a un qui est enire les deux autres. Si le point B est entre les points A et G, le point C entre les points B et D, on peut affirmer que C est entre A et D. On sait ce qu'on entend en disant qu'un point est à droite (ou à gauche) d'un autre point. Si le point B est à droite du point' A, le point C à droite du point B, on peut af.irmer que G est à droite de A. De même pour la gauche. Des points distincts, sur la droite, en nombre fini, peuvent toujours être l'angés dans un ordre tel que chacun d'eux scit à droite de ceux qui le précèdent, à gauche de ceux qui le suivent. Relativement aux segments (-), portés par la droite, limités par deux points, on sait ce que c'est que deux segments égaux, qu'un segment plus grand ou plus petit qu'un autre. Si le point B est entre le point A et le point G, le segment AG est plus grand que les segments AB, BC, dont, par définition, il est la somme. Tout segment plus grand qu'un segment donné peut être regardé comme égal à la somme, au sens précédent de ce segment et d'un autre segment. Etant donnés, d'une part, deux segments et, d'autre part, deux autres segments ; si les deux premiers segments sont respectivement égaux aux deux seconds, la somme des deux premiers est égale à la somme des deux seconds; si les deux premiers segments sont respectivement plus grands que les deux seconds, leur somme est plus grande que celle des deux seconds.

En plaçant bout à bout sur une même droite des segments égaux à un segment donné, on arrive toujours, après un nombre fini d'opérations, à former un segment plus grand que tel segment donné à l'avance que l'on voudra. On peut diviser un segment

C) On peut, sur ce point, consulter) les Griindlagen der Géométrie de ^I. HiLHEnr.

(■2) Le mot segment n'est pas pris et ne sera pas pris dans le sens de vecteur : un segment devient un vecteur quand on distingue lequel des points qui le limitent est son origine, lequel est son extrémité.

6 INTRODUCTIO?f A LA THÉORIE DES FOKGTIOIXS

donné en autant de j^arties égales que l'on voudra. On peut lediviser en assez de parties égales pour que l'une d'elles soit plus petite que tel segment donné à l'avance que l'on voudra.

5. — Etant donnés, d'une part, une unité de longueur et, d'autre part, sur la droite indéfinie X'X, un point 0 que l'on prendra pour origine et, sur celte même droite, un sens (de gauche à droite)^ pour le sens positif, on sait que, à chaque nombre rationnel a^ positif ou négatif, correspond un point A de la droite et un seul.

Si, en désignant par p et q deux nombres entiers positifs, - est la

valeur absolue de a. on obtient ce point en divisant l'unité de longueurs en q parties égales et en portant bout à bout, à j)artir de l'origine 0, p de ces parties vers la droite ou vers la gauche, suivant que a est positif ou négatif; si q était égal à i, les p segments qu'il faudrait j)lacer bout à bout pour obtenir le point A devraient être égaux à l'unité de longueur : a s'appelle l'abscisse du point A ; à deux valeurs distinctes du nombre a correspondent deux positions distinctes du point A.

Pour tout point A qu'on peut obtenir par la construction précédente, la longueur OA est commensurahle à l'unité de longueur ;. c'est-à-dire qu'il y a un certain segment qui est contenu un nombre exact de fois q dans l'unité et un nombre exact de fois pdans OA ; réciproquement si la longueur OA est commensurahle à l'unité de longueur, et si la commune mesure est contenue q fois dans l'unilé, p fois dans OA, il est clair qu'il y a un nombre

rationnel a, dont la valeur absolue est - et dont le sisne est -t-

ou — suivant que le point A est à droite ou à gauclie de l'origine,, qui peut être regardé comme l'abscisse du point A,

Si deux points A, B ont des abscisses rationnelles a, h, Best à droiteou à gauche de A suivant que 6 est plus grand ou plus petit que a»

6. — Entre deux points quelconques R, S de la droite, il y a des points dont l'abscisse est rationnelle.

On peut en effet diviser l'unité de longueur en q parties égales, plus petites que le segment RS; portant l'une de ces parties sur la droite X'X à partir du point 0, vers la droite et vers la gauche ;,.

CIIAI'ITIVE I. INOMimES IKUATlOiNNELS 7

nous obliendrons une suite de points (indéfinie dans les deux sens),

.... a;, A',, U, A,, A,,.... dont Jes abscisses seront respectivement

Pour fixer le langage, supposons, comme dans la figure, que R soit entre 0 et S et à droite de 0. On finira par trouver dans la suite des points 0, A^, A^, A.j,... un point qui sera au delà (/) de K ; soit ^n + i 1© premier de ces points, en sorte que A„ soit en R ou en

A; a; 0 Al A, A„ il A„+iS

Fiff. I.

n -!- I deçà de R ; A,j^ 1, dont l'abscisse est le nombre rationnel — - — , est

entre R et S, car s'il était en S ou au delà de S, le segment A„A„^.i serait, contrairement à l'iiypothèse, égal ou supérieur au segmentRS.il résulte de là que, étant donné un point quelconque R de la droite X'X, il existe sur cette droite des points d'abscisse rationnelle aussi rapprochés de R qu'on le voudra, soit au delà, soit en deçà.

7. — Étant donné sur la droite un point A, ou bien la longueur OA est commensurable à l'unité de longueur, ou bien elle est incommensurable à cette unité, c'est-à-dire qu'il n'y a aucun segment qui soit contenu un nombre exact de fois dans cette unité de longueur et dans OA. Dans le premier cas, on a vu que le point A correspondait à une abscisse rationnelle. Supposons qu'on soit dans le second cas.

Fig. 2.

A chaque nombre rationnel correspondra, comme on l'a expliqué plus haut, un point de la droite X'X, autre que le point A, un

(') .l'emploierai les expressions « au delà, en dcc;à » dans le même sens que « p droite, à gauche ».

O I^fTRODUCnON A LA. THEORIE DES FO^CTIO>iS

point qui sera par conséquent à droite ou à gauche de A ; les nombres rationnels se sépareront donc en deux classes ; à la première classe ou classe inférieure, appartiendront tous les nombres rationnels a auxquels correspondent des points a situés en deçà de A ; à la seconde classe, ou classe supérieure, appartiendront tous les nombres rationnels a auxquels correspondent des points a' situés à droite de A (*).

Ce mode de séparation des nombres rationnels en deux classes ■satisfait évidemment aux conditions suivantes :

1° Tout nombre rationnel appartient à l'une ou à l'autre des deux classes.

2° Tout nombre qui appartient à la classe inférieure est plus petit que tout nombre qui appartient à la classe supérieure.

Ces deux premières conditions impliquent la conclusion suivante :

Si un nombre a appartient à la classe inférieure, il en est de même de tout nombre rationnel 6 qui est plus petit que lui; en effet, si b n'appartenait pas à la classe inférieure, il appartiendrait à la classe supérieure, donc il serait plus grand que a, contrairement à l'hypothèse. Si un nombre a' appartient à la classe supérieure, il en est de même de tout nombre rationnel b' plus grand que lui.

3° Il n'y a pas dans la classe inférieure de nombre qui soit plus grand que tous les autres. Soit, en effet, a un nombre de la classe inférieure et soit a le point correspondant : a est à gauche de A ; entre a et A, il y a des points dont l'abscisse est un nombre rationnel ; or, un tel point étant en deçà de A, son abscisse appartient à la classe inférieure, et elle est plus grande que a. Il est donc impossible que a soit plus grand que tous les nombres de la classe inférieure. De même, dans la classe supérieure, il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres nombres de la même classe.

Remarquons encore qu'on peut trouver dans la classe inférieure

(') Les mots « classe inférieure, classe supérieure » seront continuellement employés dans ce chapitre ; il doit être Lien entendu cjue ces classes ne contiennent cjne des nombres rationnels ; en sorte que si l'on dit d'un nombre qu'il appartient soit à une classe inférieure, soit à une classe supérieure, il sera inutile de dire cjue ce nombre est rationnel.