II. — SERIES A ENTREE MULTIPLE

101. — Jusqu'ici on a affecté chaque terme d'une série d'un indice égal au rang de ce terme, cette façon d'écrire n'a rien de nécessaire ; les symboles

sont aussi clairs que le symbole

la somme des n premiers termes de la première, de la seconde, de la troisième, de la quatrième série seront respectivement

VQ+V^-\-... -i-U„i,U i-t-iJ(,-|- ... -+-Vn — 2,V i-t-V 2-{-...-hV„,

l'i + fj -H ... H- v.,n—i ; les séries seront convergentes ou divergentes suivant que cette somme tendra, ou ne tendra pas, vers une

i32 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIO>'S

limite, quand n augmente indéfiniment. Quand il s'agit de séries absolument convergentes, on peut aller plus loin et ne tenir aucun compte de l'ordre des termes ; il y a un intérêt évident à présenter les choses de façon que l'idée d'ordre n'intervienne plus, au moins sous la forme particulière qu'on lui a donnée jusqu'ici.

102. — Dans le chapitre II, on n'a considéré que des ensembles dont tous les éléments étaient distincts : Remarquons qu'il n'y aurait aucune difficulté à concevoir des ensembles où plusieurs éléments seraient identiques ; pour éviter toute confusion, je n'emploierai pas le mot ensemble dans ce cas, je le remplacerai par le mot agrégat : un agrégat sera défini, si l'on définit les éléments distincts qui y figurent, et si l'on dit de chacun de ces éléments combien de fois il y figure : cette notion est aussi claire que celle d'ensemble ; elle suppose que chaque élément ne figure dans l'agrégat qu'un nombre fini de fois.

Remarquons, en passant, que si une série est convergente, un terme (non nul) ne peut y figurer qu'un nombre fini de fois, puisque le it terme doit tendre vers o quand n augmente indéfiniment. Quant aux termes nuls, il est loisible de n'en pas tenir compte. Dès lors, il est certainement permis de parler de l'agrégat des termes d'une série convergente ; fait partie de cet agrégat chaque nombre qui figure comme terme dans la série ; il figure dans l'agrégat autant de fois que dans la série. Toute idée d'ordre a disparu. Ce n'est pas toutefois à ce point de vue que je veux me placer, mais bien à celui d'où l'on a considéré les suites. Une suite^ a-t-on dit, est définie quand le terme qui se trouve à un rang n est défini, quel que soit le nombre naturel n ; cela revient à dire que pour définir une suite, il faut faire correspondre à chaque numéro i, 2^ 3, ..,, (à chaque élément de l'ensemble des nombres naturels), un nombre déterminé, le terme de la suite dont le rang est précisément ce numéro. La généralisation est immédiate. Au lieu de l'ensemble des nombres naturels, concevons un ensemble quelconque (E) d'éléments distincts et imaginons qu'à chaque élément de cet ensemble on fasse correspondre un nombre : Si l'on veut réunir tous ces nombres par la pensée, on pourra encore donner le nom d'agrégat à leur réunion : un élément de l'agrégat ne sera dé-