CHAPITRE III. SÉRIES A E:NTRÉE MULTIPLE l

fini que si l'on dil quelle est sa valeur et à quel élément de ronscmble (E) il correspond. L'idée d'ordre est remplacée par l'idée de correspondance avec un ensemble quelconque {'■). L'agrégat de nombres auquel on parvient ainsi peut contenir une infinité de termes identiques : chacun de ces termes se distingue des autres par l'élément de (E) auquel il correspond, élément que l'on peut, si l'on veut, regarder comme un indice qui affecte le terme de l'agrégat qui lui correspond.

Dans les applications de cette idée qui vont suivre, applications qui concernent les séries, je supposerai toujours que l'ensemble (E), dont je désignerai par o un élément quelconque, est dénombrahle. A part cela, l'ensemble (E) peut être quelconque : ce peut être l'ensemble des nombres naturels, ou l'ensemble des nombres entiers, ou l'ensemble des nombres pairs, ou l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers, ou l'ensemble des systèmes de p nombres naturels, etc.. ; à chaque élément o de (E) correspond un nombre ou terme que je désigne par Up. Puisque (E) est dénombrahle, on peut imaginer une correspondance parfaite entre cet ensemble et l'ensemble des nombres . naturels ; en supposant que l'élément o de (E) et le nombre naturel n se correspondent, je désignerai par Un le même nombre que i\^ : On peut dire alors que les termes v sont rangés dans l'ordre u^, 11.2, 11$, ... Si l'on adopte un autre mode de correspondance entre les éléments o de (E) et les nombres naturels, on range par là-même les termes v^ dans une autre suite Ui, Uj, U3, ..., qui peut se déduire de la suite itj, u^, U3, ..., en intervertissant les termes (n" 74), puisque si l'on désigne par n et © (n) les nombres naturels qui correspondent au même élément o de (E) dans l'un et l'autre mode de correspondance, la suite ©(i), © (2), © (3), .,., ne diffère de la suite i, 2,3,. ., que par l'ordre des termes et que l'on a

Si la série ii^ -+- u,^ -h ... est absolument convergente, sa somme, qui ne dépend point de l'ordre de ses termes, est égale à la somme de la série Uj -I- Uo -h ..., ou de toute autre série formée de la

(i) C'est cette même idée de correspondance qui, comme on le verra au chapitre IV. est le fond de l'idée de fonction.

même façon, et il est naturel de regarder cette somme comme étant la valeur du symbole

auquel je conserverai le nom de série (absolument convergente) : on dit de ce symbole que la sommation y est étendue à tous lêâ termes Vp qui correspondent aux divers éléments o de (E), parce que l'on se représente grossièrement sa valeur comme étant la somme de tous ces termes ; on dit aussi, par ellipse, que la sommation est étendue à tous les éléments p de (E), en entendant qu'on fait la somme, non de ces éléments, mais des nombres y^ qui leur correspondent. Je dirai de cette série, et de sa somme, qu elles

sont attachées à l'ensemble (E). Si la série 2, "«> formée comme

on l'a expliqué au moyen des nombres v , n'était pas absolument

convergente, il n'y aurait pas lieu d'attribuer au symbole ^ ^p une

P signification indépendante de la correspondance établie entre les

éléments de (E) et les nombres naturels.