Dire que la série 2, "" ^^^ absolument convergente

c'est dire, en désignant par u'^, v'p, les valeurs absolues de iin,

Vp que la série à termes positifs ou nuls 2, ^4 est convergente

OU encore que si l'on considère l'ensemble (S') dont chaque élément est la somme d'autant de termes qu'on voudra pris dans la

suite ii[, 11'^, ii'„, ... ou, ce qui est la même chose, la somme

d'autant de termes qu'on voudra pris (chacun une fois) parmi les nombres v'p qui correspondent aux éléments de (E), cet ensemble est borné en haut. La borne supérieure de cet ensemble (S') est la

somme de la série /v u',^ ou si l'on veut, la valeur de la série

"V v'p, attachée à l'ensemble (E) (n° 95) ; il apparaît clairement

CIIAPITUE III. — SÉRIES A EISTHKE MULTIPLE l35

que cette valeur ne dépend pas de l'ordre des termes de la série, de la correspondance entre les cléments p de l'ensemble (E) et les nombres naturels.

Si aux éléments o de l'ensemble (E) correspondent des nombres positifs on nuls dp, si la série ^ Up est convergente, et si l'on a,

P quel que soit l'élément p, v'p ^ «p, la série \^ Up, attachée à (E), est

P absolument convergente, et la valeur absolue de sa somme ne peut

dépasser ^ap(n°100).