Supposons toujours que la série 7 Up, allachée à (E

P soit absolument convergente, et soit V sa somme. On suppose, comme plus haut, qu'il y ait une correspondance parfaite entre les éléments p de (E) et les nombres naturels n, ou, si l'on veut, qu'on ait assigné un rang n a chaque élément p de (E), et Ion désigne par Un le nombre Vp qui correspond au n^ éléments de (E) ; V n'est

autre chose que la somme de la série 2i ^^"•

Soit (Ex) un ensemble contenu dans E ; il est forcément fini ou

dénombrable. Le symbole 2\ Up> oii la sommation est étendue, non

P plus aux nombres Vp qui correspondent aux éléments de (E) mais

seulement à ceux de ces nombres qui correspondent aux éléments de (Ea) représente encore (n° 100) une série absolument convergente, attachée, ainsi que sa somme lUa, a l'ensemble (Ea). Puisque (Ea) est dénombrable, on peut en faire correspondre les éléments aux nombres naturels i, 2, ..., ou, si l'on veut, les ranger dans un cerlain ordre. Si l'on désigne par 11 le même nombre que v lorsque p est le m" élément de (E^), on aura évidemment

Ceci posé, imaginons qu'on décompose l'ensemble (E) en un nombre fini r d'ensembles partiels (E,), (Eo), ..., (Er) sans élément commun, en sorte que tout élément de (E) figure dans l'un de ces

l36 INTRODUCTION* A LA. THÉORIE DES FO?*CTIONS

ensembles partiels et dans un seul, que tout élément qui figure dans un de ces ensembles partiels figure aussi dans (E) ; on peut dire encore que l'un quelconque des ensembles partiels est formé des éléments de (E) qui ne figurent pas dans les autres.

Le symbole (E^) représente l'un quelconque des ensembles partiels (Ej), (E.,), ... (E,.), on supposant que a prenne les valeurs I, 2, ..., 7'. En conservant les notations précédemment expliquées, c'est-à-dire en désignant par w^ la somme de la série ^ i'^ at-

P tachée à l'ensemble (E^), on a

(l) V = ll-\ -t- U'^ + ... H- IV,..

Cette proposition ne diffère pas au fond, de celle du n° 93 qui se rapporte à la somme de plusieurs séries; on aura, en effet, pour les valeurs i , 2 ,...,/' de a

et par conséquent (n° 93)

,1 -t- Ih.i + ••

• -+- tï,-,l)

• + Ur.l)

mais la série qui figure dans le second membre, dont le m" terme est (f*i,m ~^ ih,m "+"••• Ui;m) festc convergeute quand on supprime les

parenthèses et qu'on y regarde «^ o (a = i , 2 , . . . r;^^= 1,2, )

comme y occupant le rang (j'S — i )/•-+- a ; cette série, après la suppression des parenthèses, n'est autre en effet que la série

n= ce

^ yp ou ^ Un attachée à (E), dans laquelle on a rangé les termes

dans un certain ordre; le terme de rang {fj — i) /- -h a occupait

n = co

dans ^ Un le rang qu'occupe dans (E) l'élément 0 qui se trouve

être le ^^ du a^ ensemble partiel (E^^). La série 7^ Un étant absolu-

ment convergente, il en est de même de celle qu'on en déduit par

CIIAPIIIIE m. SICUIKS A KMIUOR MLI/JU'hE l.)"]

l'interversion des termes et, en particulier, de celle qui fij^'urc dans le second rnend)re de l'égalité (2) quand on a supprimé les parenthèses ; dans CCS conditions^ la suppression des parenthèses est

légitime (n" 90) ; le second mcnd^re de l'égalité (i) est égal à 7 a„

ou à V et l'égalité (i) est bien démontrée.

Observons en passant qu'on retomberait sur la proposition du n° 98 si l'on prenait /■ = 2 et si l'on constituait l'ensemble (E,) avec les éléments o de (E) auxquels correspondent des termes Vp positifs, l'ensemble (E.^) avec les éléments 0 de (E) auxquels correspondent des termes négatifs ou nuls.

105. — Mon but est maintenant d'arriver à la proposition suivante.

Supposons qu'on décompose l'ensemble (E) en une infinité dénombrable d'ensembles partiels sans éléments communs (E,), (E^), ..., (E,i), ... : il faut entendre par là que si l'on considère un élément quelconque 0 de ('E), cet élément figurera dans un des ensembles partiels (EJ, (E^), ..., (E„),... et dans un seul, et que, d'autre part, tout élément figurant dans un ensemble partiel figure dans (E) ; la série

où iv^ désigne toujours la somme de la série 7 i\^ attachée à l'en-

P semble (Ea) est convergente et a poui' somme V.

Il est bien aisé de se rendre compte de ce qu'il reste à démontrer pour établir cette proposition ; soit (8„) l'ensemble des éléments de (E) qui ne figurent ni dans (Ei), ni dans (Ej), ..., ni dans (E„) et

soit W» la somme de la série ^ i'^ attachée à l'ensemble (8„) ; on

P aura par le théorème précédent

V = îOj -h 10.2 + ... -h u'„ H- W,; ;

il reste à démontrer que n grandissant indéfiniment, AA „ tend vers o.

Cela, comme on va le voir, résultera de l'étude du cas où tous

l38 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

les nombres v^ sont positifs ou nuls : du même coup, on aura prouvé que la série Wi -\- iv.2 ~^ • . • est absolument convergente.