Au lieu de raisonner sur le cas où les nombres u sont

positifs ou nuls, je conserverai aux symboles v leur signification,

en supposant toujours que la série 7 v attachée à l'ensemble to-

p tal (E) soit absolument convergente, et je raisonnerai sur les valeurs absolues u' des nombres y„ : la série 7 ué, attachée au même

p ensemble (E), est convergente ; soit M' sa somme. Soient de même

w^ la somme de la série partielle 7 ^ô attachée à l'ensemble (Ea),

p et W,'j la somme de la série partielle > v^ attachée à l'ensemble

P (8,,), on aura comme précédemment, par le théorème du n° 104

T = iv\ + ,y; H- ... -^ iv',^ -+- w:„

d'où il résulte déjà que la série w + lo^, -h ... -h w'^ -f- ..., dont les termes sont positifs ou nuls est convergente et que sa somme est au plus égale à V. Il reste à prouver que l'on a lim. '^'n = o.

V est la borne supérieure de l'ensemble (S') dont les éléments sont les diverses sommes que l'on obtient en ajoutant des nombres v' qui correspondent à des éléments différents 0 de l'ensemble (E).

Quelque petit que soit le nombre positif c, il y a dans (S') un élément A qui est plus grand que V — s : A est la somme d'un nombre fini de termes v'^ correspondant à différents éléments p de (E), lesquels figurent dans certains des ensembles partiels (EJ, (E,), ...

Soit m le plus grand des indices de ceux des ensembles (Ei). (Eg), ... qui contiennent quelqu'un des éléments o de (E) auxquels correspond un de ces termes v^^ dont la somme forme A : chacun

de ces termes figurera dans quelqu'une des séries ^ v'^ attachées

aux ensembles (E^), (E^), ..., (E„i), séries dont les sommes respec-