CHAPITRE III. SÉRIES A ENTUÉE MULTIPLE iSq

tives sont iv[, id[^, ..., kj',^ : on aura donc

et, a fortiori, pour n ^ m,

A ^ îo'j -h ui'2 H- ... -4- ly,'»

et, par conséquent

sous la seule condition n >■ m. C'est ce qu'il fallait démontrer.

Maintenant, en reprenant les notations relatives au cas général (n*' 105), il est clair que l'on a

h«i I ^ iv[, \ 10.^1^ iv',, ..., \iu^\^ n4. 1 w„ I ^ w;

et il est bien prouvé que la série

est absolument convergente et a pour somme V.

107. — La série lo, -\- iv.^ -h ... étant absolument convergente, on

peut sans changer la somme, intervertir comme on veut l'ordre de

ses termes ; cette simple remarque permet de généraliser encore un

peu la forme du théorème qui vient d'être démontré, ce qui sera

commode pour les applications. Reprenons l'ensemble dénombrable

(E) auquel est attachée la série absolument convergente 7 vj', on

P l'a décomposé en une infinité dénombrable d'ensembles partiels,

dont on a représenté l'un quelconque par (E^), l'indice a pouvant prendre toutes les valeurs i, 2, ... qui constituent l'ensemble des nombres naturels. Cette dernière supposition a été introduite pour la commodité de la démonstration, mais n'a rien d'essentiel. On peut tout aussi bien imaginer que a représente un élément quelconque d'un ensemble dénombrable (A) d'objets distincts, en regardant toujours w^ comme la somme de la série absolument convergente ^ y^ attachée à l'ensemble (EJ. De cette façon, à chaque

p élément a de l'ensemble (A) correspond un nombre déterminé u\, et il sera permis de parler de la série absolument convergente

ïllO I^iTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

lu^ attachée à l'ensemble (A), série qui ne différera que par

l'ordre des termes de la série tVi -H lu^ -+- • • • sur laquelle ont roulé les raisonnements antérieurs. — On est ainsi amené à la forme générale que voici de la proposition qui a fait l'objet des numéros précédents.

Soit (E) un ensemble dénombrable d'objets distintes p, auquel

est attachée une série absolument convergente y, ^p î ^oit (A) un

p autre ensemble dénombrable d'objets distincts a ; supposons que l'en, semble (E) soit décomposé en une infinité dénombrable d'ensembles partiels (Ea), sans élément commun, dont chacun corresponde à un élément a de l'ensemble (A) : on entend par là que chaque élément de (E) figure dans l'un des ensembles partiels (Ea) et dans un seul, et que tout élément de l'un quelconque (Ea) des ensembles partiels figure dans l'ensemble (E). A chacun de ces ensembles (Ea) est

attachée une série absolument convergente ^ Vp, où il est entendu

P que la sommation est étendue à tous les éléments de l'ensemble (Ea) ; soit iv^ la somme de cette série ; à chaque élément a de l'ensemble (x\) correspond un nombre iVoi ; la série ^ w^ attachée

ainsi à l'ensemble (A), où la sommation est étendue à tous les éléments de (A), est absolument convergente et sa somme est égale à la somme de la série ^ Wq attachée à l'ensemble (E).

Dans le cas où tous les termes v^ de la série 7 u^ attachée à (E)

P sont positifs ou nuls, lors même qu'on ne sait rien sur la convergence de la série attachée à (E), si l'on reconnaît sur chaque série attachée à un ensemble partiel (Ea) qu'elle est convergente, sa somme Wgj est alors un nombre positif ou nul; si l'on reconnaît

enfin que la série 2, ^^'a' attachée à l'ensemble (A) est convergente,

on peut affirmer la convergence de la série 2, ^p attachée à (E) ; en

P effet si l'on prend autant de termes que l'on veut dans celte dernière série, chacun de ces termes figure dans quelqu'une des séries

CIIAPITRE m. SÉIUKS A ENTUÉE MULTIPLE I /j I

ayant pour somme l'un des noml)res iik^., et la somme de ses termes ne dépasse ni la somme de ces nombres iv-j,, ni, a fortiori

la somme > to^. L'ensemble dont les éléments sont des sommes de

termes pris dans la série attacliée à l'ensemlile (E) est donc borné en haut. Cette série est convergente et sa somme est égale à la somme de

la série ^ "';(•

Mais, si les nombres u^ n'étaient pas tous de même signe, on ne pourrait conclure la convergence absolue de la série 'V^ Vo attachée à l'ensemble (E) ni de la convergence absolue des

P séries partielles attachées aux ensembles (Ea). ni de la convergence

absolue de la série V »'^ attachée à l'ensemble (A).

Dans ce cas on se reportera à la série > v'p formée par les va-

P leurs absolues des termes de la série > iv,. Si l'on parvient, par

un procédé quelconque à démontrer la convergence de la série 2\ V? attachée à (E), par exemple en constatant d'abord la conver-

P gence des séries /, Up attachées aux ensembles partiels (Ea), puis la

P convergence de la série 7 t(4 attachée à (x\), dont les termes sont

respectivement les sommes des séries précédentes, on sera bien certain que la série 7 l'p attachée à (E) est absolument conver-

P gente. Cette remarque sera appliquée dans les n"' Hl et 112.

108. — Supposons, comme premier exemple, que l'ensemble (E) soit l'ensemble des nombres entiers (négatifs, nuls ou positifs). Le signe p désignera alors un quelconque de ces nombres entiers, Vo est, par hypothèse, déterminé pour chaque valeur entière de 0 : on peut établir la correspondance entre chaque nombre 0 et chaque nombre naturel n comme on l'a expliqué au n° 70, en supposant les nombres p rangés dans la suite o, i, — i, 2, 0 — 2, ... et en

l42 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

faisant correspondre à chaque nombre p le rang ?i qu'il occupe dans

cette suite ; la série ^ iin peut alors s'écrire

Vfl -4- v i H- Vi H- U2 H- V — 2 -i- •••• ;

Si on la suppose absolument convergente, elle est, d'après le théorème précédent, ou tout simplement en vertu des n"^ 93 et 90, la somme des deux séries

VQ-h V-l -+■ V 2 -h .,. = ^

p= — co Vp p=0 p=00

Vi + i'i -+-i'3 + ••• = 2^^

qui sont elles-mêmes absolument convergentes. Cette somme se représente par le symbole

p = + oo

Il importe de remarquer que ce symbole s'emploie lors même que la série

Vq -h v^ -i- v i -h Uj -h v 2-+- ... n'est pas absolument convergente. Toutes les fois que les deux

P = X> p =: OO

séries partielles 2, ^p? 2-i ^? ^^^^ convergentes, même sans l'être

absolument, mais seulement lorsque ces deux séries sont convergentes, on emploiera le symbole

rj=z-\-<X> p ::= — ^

pour représenter la somme de leurs sommes . Le terme auquel on fait commencer les deux séries partielles n'a d'ailleurs pasd'impor-

CHAl'lTUE ni. SÉU1E& A ENTUÉE MULTIPLE l43

tance : si les deux séries écrites sont convergentes il en est de même, par exemple, des deux séries

Vj, -+- Vj,^i -+■ v,,2 + ••• H- u„ -4- v i 4- v 2 -4- ....

Up + 1 -H V;, + 2 4- l';; + 3 4- • • -,

dont les sommes respectives peuvent s'écrire

la somme de leurs sommes est encore

p=4-<» p = + co

p = CO

Toujours sous la supposition de la convergence des deux séries partielles, il est clair que la somme

P = — oo

peut être regardée comme la limite pour p infini de la somme de 2p 4- I termes,

Zj '•'p "= '"-p -^ î^-2) + i 4- ... 4- f -1 4- ^0 -I- ^1 -^ ••• H- i-V î p = — P

mais cette limite pourrait très bien exister sans que les deux séries partielles fussent convergentes ; c'est ce qui arriverait, jjar exemple, si, quel que fût le nombre naturel p, on avait y^ = — v,, : la somme précédente serait toujours égale à v^ ; elle aurait v^ pour limite, et cependant, la série Vi -i- v^ -\- v^ -\- ... pourrait très bien être divergente. Si, au contraire les deux séries partielles sont convergentes, il est clair que, en désignant par p, q deux nombres naturels quelconques, la somme

tend vers

^ Vo

p = CO

pourvu que p et q grandissent indéfiniment.

109. — Comme second exemple, je vais considérer le cas où l'ensemble (E) est soit l'ensemble des systèmes (a, |3) de deux nombres entiers a, ]3, soit une partie de cet ensemble, d'où l'on aurait exclu certains systèmes (a, jj) en nombre fini ou infini. Le signe 0, qui désigne un élément quelconque de l'ensemble (E) peut alors être remplacé par le système (a, |5) : On suppose toujours établie une correspondance parfaite entre l'ensemble (E) et l'ensemble des nombres naturels n ; à cbaque élément (oc, |S) de (E) est attaché un nombre v^ n et l'on suppose encore iin ^ v^ o toutes les fois que l'élément {a, ^) de (E) et le nombre naturel /i se correspondent ; enfin on suppose absolument convergente la série

ji^

Un OU ^ Vp, que l'on représente aussi par le symbole

On peut s'aider de la représentation géométrique expliquée au n° 75; qu'on se représente le plan décomposé en carrés au moyen de deuc systèmes de droites parallèles ; les droites d'un système étant perpendiculaires aux droites de l'autre ; chaque file horizontale est numérotée au moyen d'un nombre entier a (positif, nul, ou négatif) ; chaque file verticale au moyen d'un nombre entier 5 ; chaque carré porte ainsi deux numéros a, fj.

On imaginera que chaque nombre v^ o est inscrit dans la case qui porte les deux numéros a, jS. Si l'ensemble (E) ne contient pas tous les systèmes a, [j, certaines cases resteront vides ; des files entières, soit horizontales soit verticales peuvent rester vides : la file horizontale, numérotée a^ serait vide si tous les systèmes (a, /5) dont le premier nombre est a^ devaient être exclus. Un cas fréquent est celui où l'ensemble (E) ne contient que les systèmes (a, |3) formés de deux nombres naturels ; alors on peut, au lieu du tableau à