CHAPITRE III. SKUIES A E^NTRKK MULTIPLE l/fS

double enlrcc, à extension indérinic dans Ions les sens, se figurer un laijleauà double entrée limité en bas et à gauche, s'étendant indéfiniment vers le haut et vers la droite : tout cela a été expliqué au n" 75. Enfin orf peut supposer que les cases pleines soient numérotées au moyen d'un seul numéro et employer pour cela les nombres naturels i, 2, ... : ce double mode de numérotage permet de réaliser la correspondance parfaite entre l'ensemble (E) et l'ensemble des nombres naturels.

Tout ceci rappelé, considérons une valeur particulière de a et désignons par (Ea) l'ensemble des systèmes (a, ij) où le premier indice a celte valeur particulière (') ; l'ensemble (Ea) est contenu dans (E). L'ensemble (E) peut être ainsi regardé comme étant décomposé en une infinité dénombrable d'ensembles partiels (Ea), que l'on obtient en donnant à l'indice a toutes les valeurs entières possibles, ou au moins toutes celles qui ne servent pas à numéroter une file horizontale entièrement vide. Les nombres Ua,p qui sont contenus dans la file horizontale numérotée a, sont tous affectés du même premier indice a, ils se distinguent par le second indice p, dont les valeurs diverses forment un ensemble fini ou dénombrable. (Ea) désigne l'ensemble des systèmes (a, p) où le premier indice a une valeur fixe a, tandis que le second indice prend toutes les valeurs possibles non exclues : L'ensemble dénombrable des ensembles partiels (Ea) reproduit évidemment l'ensemble primitif (E), qui est donc bien composé des ensembles (Ea) ; à chacun de ces ensembles (Ea) est attachée une série, dont les termes sont les nombres v^,^ placés dans les cases de la file horizontale qui porte le numéro a., série qui est absolument convergente, puisqu'elle ne contient qu'une partie des termes de la série absolument

convergente /^ Ua,p ; soit w^ la somme de la série attachée à l'en-

semble (Ea). Le nombre tCa est ainsi attaché à l'indice a ; les Aaleurs non exclues de cet indice forment un ensemble dénombrable (A) auquel est attachée la série absolument convergente ^ lUa, dont

la somme est égale à celle de la série ^ L'a,|â attachée à (E).

a, ji

(') Si tous ces systèmes devaient èlre exclus, rcnsemble (Ea) n'existerait pas. Tanneby I. — Introduction à la tl-éorie des fonctions 10

I/i6 T?(TR0DUCT10N A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

On se représente les choses d'une façon commode, malgré son incorrection, en imaginant que pour faire la somme de tous les nombres Ua,p da tableau à double entrée, on a fait d'abord la somme Wx de tous les termes contenus dans une même fde horizontale, puis la somme de toutes les sommes partielles rt'a.

Il est clair qu'on aurait pu tout aussi bien faire les sommes des termes contenus dans chaque fde verticale, puis la somme de toutes les sommes partielles ; on aurait obtenu le même résultat, la somme de la série absolument convergente ^ ^a s*

Plaçons-nous dans le cas où aucun des systèmes [a, p) n'est exclu, où les lettres a, p doivent prendre séparément toutes les valeurs entières, et où, ainsi, aucune case du tableau à double entrée n'est vide : on peut toujours, d'ailleurs, se mettre dans ce cas, quitte à mettre des zéros dans les cases vides.

On pourra alors écrire, en adoptant les notations expliquées dans le n° 108.

jE = + co a = 4-a) a = + oo.''p = -|-oo \

^z= — oo a, j3 a = — co a= — co\p= — <x> !

le dernier membre a, par définition, la même signification

a^ — oo

que 2i ^^'^t- ^^ supposant toujours que la série proposée est abso-

a z= -[- oo

lument convergente, on peut écrire, d'après les explications qui précèdent