CHAPITRE III. SERIES A ENTREE MULTIPLE
Supposons que l'ensemble (E) soit l'ensemble des systèmes (a, fj, y) de trois nombres naturels, positifs, nuls ou négatifs. A chacun de ces systèmes correspond un terme Ua.^.v et l'on suppose toujours que la série
étendue à tous les éléments de cet ensemble soit absolument convergente. On peut prendre pour ensemble partiel (Ea) l'ensemble des systèmes (a, fj, y) pour lesquels a a une valeur fixe ; si l'on désigne alors par u'a la somme de la série
la somme de la série proposée sera encore ^ iVx ou, si l'on veut.
co
on peut continuer ainsi.
Au lieu d'écrire, avec le sens qui vient d'être expliqué,
a^ -|- oo
/v = -f co
a = — co
Vp = -co /
a := co
,3 = — co
Vï=^-
on écrit plus simplement, et avec le même sens,
a = — oo p^ — 00
a=-|-oo p = -}- 00 vr=-l-oo
jiaM JêêêM ^^
OL^z — 00 3=: oo ytrr — ce
110. — Il convient de remarquer que l'emploi de ces symboles est légitime lors même qu'on n'a plus alîaire à des séries absolument convergentes, sous des conditions que je me contenterai d'énoncer pour le premier de ces symboles, celui qui comporte deux signes^ .
l/i8 INTRODUCnON A LA THÉORIE DES FONCTIONS
1° On suppose que la série
est convergente quel que soit a, c'est-à-dire (n» 108), que les deux séries
sont convergentes.
P = + co
1" En désignant par Wx la somme de la série 7 w^ p, on sup-
pose que la série
est convergente : la somme de cette série est la valeur de la somme double
2 2vr .
a=:— co p = — 00
Mais lorsqu'on n'a pas affaire à des séries absolument convergentes, l'égalité
où le second membre doit être défini comme on a fait le premier, n'est pas toujours vraie ; il peut même arriver que le second membre n'ait plus de signification ; on ne peut plus affirmer non plus que l'un
OU l'autre membre soit égal à la somme ^ Un de la série dont
les termes sont les nombres Ua, p, rangés dans une suite linéaire, et cette dernière série peut n'être pas convergente.
On donne souvent le nom de séries à double, triple, . . . entrée,
CUAPITUE ni. SÉUIES A BISTRÉE MULTIPLE I '| 9
de sommes tlonblcs, triples, ... à des expressions telles que celles que l'on vient de considérer.
m. — Considérons la série V x"^ + ^ où l'on suppose que les
systèmes (a, /5) sont formés de deux entiers positifs ou nuls, d'ailleurs quelconques. Cette série est absolument convergente quand on a \x 1< I, ainsi qu'il résultera du calcul même qui fournit sa somme, en regardant x comme positif. On a
3 = 00 P = co
En rangeant les termes de la série dans le tableau
