I -t- 2 ce -H 3 a-- -h 4 aî

qui, ainsi, est absolument convergente, sous la supposition 1 œ [ < i ,

, . 1 et qui a pour somme -, •

^ ^ (i — xY

On peut observer que l'ordre adopté dans le tableau, revient à faire correspondre à l'ensemble des systèmes de deux nombres entiers positifs ou nuls (a, |3) l'ensemble des systèmes de deux nombres positifs ou nuls {p, q), pour lesquels on a p ^ ç, par les conditions /) = a, g = a -h |3 ou a =p, (^ = <] — P» ^^ ^ ^1°^^

a, p p, q q^=op = o 7 = 0

l56 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

On arrive au même résultat en transformant la série à double entrée clans ime série simple, d'après cette convention que le terme x'^'^'^ précédera le terme x'^' '^'^ si l'on a a -i- /S > a' -r- |3', et en groupant ensemble les n -i- i termes égaux pour lesquels a H- p a la valeur 72.

112. — Considérons la série ^ x^^ où les systèmes (a, ]S) sont

a, jî

formés de deux nombres naturels : cette série est encore absolument convergente quand on suppose ] œ ] < i, ainsi qu'il résultera du calcul suivant en supposant x positif. On a

Si l'on groupe ensemble les termes égaux pour lesquels afj est égal à un nombre naturel n, on voit de suite que le nombre de ces termes est le nombre o\ de diviseurs de n, en sorte que l'on a

d'après la démonstration même, on est assuré que la série qui figure dans le second membre est convergente, sous la condition \x I <C I. <^i doit être pris égal à i ; si n est un nombre premier, â'n est égal à 2 .

Considérons encore la série y ( — i)P— i£c°'(2r — i), oùles sys-

tèmes (a,jj) sont formés de deux nombres naturels : elle est absolument convergente sous la supposition | ce | ■< i, puisque si l'on réduit les termes à leurs valeurs absolues, elle ne comportera qu*une partie des termes de la série précédente. On a

i3 = oo

CIIAl'iriŒ m. — SKKIES A ENTUÉE MULTIPLE l5l

L'idcnliLé

est celle que j'avais en vue. Ici encore, il serait naturel de grouper ensemble les termes pour lesquels a (2 ^ — i) est égal à n; le

coefBcient y„ de .r" dans la série ^ y» ■^" ^1"^ ^'^^^ obtient ainsi

apparaît comme l'excès du nombre de diviseurs impairs de n qui sont de la forme 4 /* -H i sur le nombre de ces diviseurs qui sont de la forme k p — i- En particulier si n est un nombre premier de la forme 4 /> — i, dont les deux seuls diviseurs impairs sont i et k p — 1 , 7« est nul ; si n est un nombre premier de la forme k p-{- 1, y„ est égal à 2. On démontre que y» représente en général le nombre de systèmes distincts d'entiers positifs ou nuls (u, v) qui vérifient l'égalité II- -+- 1)2 __ j-^^ ÇQ nombre étant toutefois diminué d'une unité quand n est carré parfait. Cette propriété du coefficient y,;, résulte très facilement d'une identité de la théorie des fonctions elliptiques ('). Mon seul but en l'énonçant est d'indiquer au lecteur l'un des points o\x la théorie des nombres et les théories analytiques se rencontrent.

113. — On peut ranger tous les nombres naturels autres que un, dans un tableau à double entrée, que le lecteur s'imaginera très facilement s'il veut bien se reporter à la façon dont on apprend, en arithmétique, à former une table de nombres premiers. Dans chaque ligne horizontale, les nombres se suivront par ordre de grandeur croissante. La première ligne horizontale

(1) Voir, par exemple, dans les Eléments de la théorie des fonctions elliptiqaes de MM. Ta?«-nert et Molk (Paris, Gauthier- Villars) les formules CX;, LXXI3, XXXVIi et, même ouA-rage, t. IV, p. 260.

102 INTRODUCTION A LA. TIIEOUIE DES FOÎJCTIONS

contient tous les nombres pairs ; il n'y aura plus de nombres pairs dans les lignes suivantes. La seconde ligne

contient tous les nombres impairs divisibles par 3 ; de tels nombres ne figurent pas dans les lignes suivantes. La troisième

contient tous les nombres qui sont divisibles par 5 sans l'être par 2 ou par 3 . La rf ligne

commence par le n" nombre premier p (') et contient tous les nombres naturels divisibles par p, qui ne sont pas divisibles par un nombre plus petit que p : en sorte que, si l'on divise parp les termes de cette it ligne, on obtiendra comme quotients tous les termes de la suite i, 2, 3, 4, •■, qui ne figurent dans aucune des n — I lignes précédentes.

Ceci posé, soit /• un nombre positif plus grand que i, affectons de l'exposant — r tous les termes de la suite 2, 3, fx, ... ou, ce qui est la même chose, tous les éléments du tableau à double entrée précédemment défini ; Soit enfin

le second membre est, comme on sait, une série convergente et l'on a défini, dans ce qui précède, un mode particulier de transformation en série à double entrée de la série

Faisons les sommes des séries partielles répondant à chaque ligne horizontale du tableau, et désignons en général par s,, la somme des éléments de la ligne qui commence par le nombre premier p : soit encore p' le nombre premier immédiatement inférieur

(1) On ne considère pas i comme un nombre premier.

cii/VPiTun; m. — skutes a entrer mlltiple i53

àp; la loi d'après laquelle on a formé le tableau fournit immédiatement les égalités suivantes.

Lorsque/) augmente indéfiniment la somme 5.^ -l- ^3 -f- . . . 4- 5^,

a pour hmite la somme s — 1 de la série — : -f- t; + 77 H- • . . ; la quantité

s s, S3 Sj^ ... Sj,' = jy'Sj,

a donc pour limite l'unité ; par conséquent le produit infini

où figure, dans les dénominateurs, la suite des nombres premiers, a pour A^aleur l'inverse de la série

oiî figure, dans les dénominateurs, la suite des nombres naturels.