Supposons que les deux séries

n^co 11 = X

dont je désignerai les sommes respectives par A et B soient absolument convergentes, la série

l54 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

est absolument convergente, comme il résulte immédiatement, dans le cas où les nombres a», fcp sont tous positifs ou nuls, des égalités

OL=l \ P--^ I

Si maintenant on écrit la série \ a h^ sous forme d'une série simple, en convenant de mettre le terme a^bo avant le terme a^-è^, si la somme aH-|3 est plus petite que la somme a' -f- 13' et en réunissant ensemble les termes pour lesquels oc -H /3 a la même valeur, on arrive à la conclusion suivante.

Si les deux séries

sont absolument convergentes, il en est de même de la série

n = oo

où l'on suppose

Cy = a.b^,

Cj = a^b.2 -+- a^bi.

Cn = ajDn-{- a^b„y-\- ... -V- a,ib^.

et la somme de cette dernière série est le produit des sommes des deux séries proposées.

La première application quia été faite des séries à double entrée, n° 111, n'est évidemment qu'un cas particulier de la proposition qui vient d'être démontrée.

Il est bien clair d'ailleurs que l'on pourra adopter pour transformer la série 2, ^J^p, tel autre groupement de termes que l'on voudra.

Par exemple si on désigne par a, b deux nombres naturels, les deux séries

a = oo

CIÎAPITUE TII. SI:R1ES A. ENTUEE MULTIPLE lt).>

sont absolument convergentes si l'on suppose | a; | < i et leurs sommes respectives sont

I — x" ' I — xJ' '

On aura donc

i V^«oc + ^?, « = 0, 1,2, ....

et l'on voit que le second membre est égal à

en désignant par A„ le nombre de systèmes distincts (a^ j3) formés de nombres entiers positifs ou nuls, tels que l'on ait aa 4- 6p = n.