CHAPITRE I. >T)MimF.S IRR ATIO'NKI.S j

et dans la classe supérieure deux nombres qui diffèrent aussi peu qu'on le veut. En effet, si, en désignant par i un nombre rationnel positif quelconque, on considère les points dont les abscisses sont les termes de la progression arithmétique, indéfinie dans les deux sens,

le point A tombera nécessairement entre deux consécutifs de ces points dont je désignerai les abscisses par ni. (n h- i) 2 : le nombre 7?£ appartient à la classe inférieure, le nombre (n h- i) £ à la classe supérieure; or, leur différence £ peut être supposée aussi petite qu'on le veut.

Je dirai que toute décomposition des nombres rationnels en deux classes qui satisfont aux conditions i", 2", 3° détermine un nombre irrationnel.

8. — A un nombre irrationnel donné, c'est-à-dire, encore ime fois, à im mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes qui satisfont aux conditions 1°, 2", 3", correspond-il sur la droite XX. un point A qui permette inversement de retrouver, comme on vient de l'expliquer, le même mode de séparation des nombres rationnels en deux classes ?

Concevons, pour avoir une image plus sensible, de colorer en bleu tout point a dont l'abscisse a appartient à la classe inférieure du mode de décomposition donné et tout point qui est à gauche de lui, de colorer en rouge tout point a' dont l'abscisse a' appartient à la classe supérieure, et tout point qui est à droite de lui, enfin d'appeler point blanc tout puint qui n'est ni rouge ni bleu.

Par hypothèse, tous les points d'abscisse rationnelle sont colorés.

Il résulte des conditions imposées au mode de décomposition que tout point rouge est au-delà de tout point bleu, que, par suite, la partie bleue et la partie rouge de la droite n'empiètent pas l'une sur l'autre ; on voit en outre qu'un point blanc ne peut se trouver ni à l'intérieur de la partie rouge (puisque, ayant alors des points rou2:es à sasauche, il devrait lui-même être rou2:e';, nia l'intérieur

lO IINTRODUCTION A L\ THÉORIE DES FO^TCTIONS-

de la région bleue ; on voit aussi qu'il ne peut y avoir deux points blancs, puisqu'il y aurait entre ces points blancs des points d'abscisse rationnelle, c'est-à-dire des points colorés, des points bleus, par exemple, et que, alors, celui des deux points blancs qui est le plus à gauche devrait être bleu. Il ne peut donc y avoir qu'un seul point blanc A qui sépare la partie bleue et la partie rouge.

L'existence d'un tel point est un postulat conforme à notre intuition de la ligne droite. Il n'y a aucun inconvénient à l'affirmer puisque l'existence de la droite est purement idéale (i).

En l'adoptant, on peut dire qu'à chaque point de la droite X'X correspond un nombre rationnel ou irrationnel, son abscisse, et que à chaque nombre irrationnel (à chaque mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes satisfaisant aux conditions énumérées pins haut) correspond un point de la droite dont ce nombre est l'abscisse. Il est naturel de regarder un nombre irrationnel comme plus grand que tous les nombres rationnels qui figurent dans la classe inférieure qui sert à le définir, comme. plus petit que tous les nombres rationnels qui sont dans la classe supérieure ; de regarder un nombre irrationnel comme plus grand qu'im autre nombre irrationnel si le premier est l'abscisse d'un point situé à droite du second, etc.

La correspondance entre les points de la droite X'X et les nombres rationnels ou irrationnels est parfaite : les points peuvent être regardés comme les images des nombres, les nombres comme les signes des points. En raison de cette parfaite correspondance, il est permis de confondre l'image et le signe. C'est ce qui arrivera dans le cours de ce livre.

Pour le moment, laissons toute image de côté, et considérons à titre d'exemple un problème purement numérique.

9, — On montre, en arithmétique, qu'il n'existe pas de nombi'e-

(*) 11 est bien clair que les considérations précédentes ne peuvent s'appliquer à une droite réelle. La subdivision d'un segment de droite réalisé d'une l'açoni quelconque, ne peut être poussée bien loin. La longueur d'un tel segment n'est déGnie qu'entre certaines limites. L'unité de mesure elle-même, le centimètre, par exemple, ne peut être absolument définie. D'autre part, est-il besoin dedire qu'il est presque déraisonnable de parler d'un point, sans dimensions, qui» serait rouge, blanc ou bleu?

CIIAP1THE I. ^OMimES inUATIOWELS II

rationnel dont le carré soit égal à 3, mais qu'il existe des nombres rationnels, positifs, dont le carré approche de .'5 autant qu'on le veut ; c'est-à-dire que, quelque petit f[ue soit le nombre rationnel positif £, il y a des nombres rationnels tels que la différence entre leur carré et 3 soit moindre, en valeur absolue, que s. Il existe de tels nombies dont le carré est inférieur à 3 ; il en existe dont le carré est supérieur à 3.

Puisque le carré d'un nombre rationnel positif n'est jamais égal à 3, il est plus grand que 3 ou plus petit que 3. Rangeons dans une première classe, ou classe inférieure, tous les nombres rationnels négatifs, le nombre o, et tous les nombres rationnels positifs dont le carré est moindre que 3 ; rangeons dans la seconde classe, ou classe supérieure, tous les nombres positifs dont le carré est plus grand que 3. Chaque nombre rationnel a sa place dans l'une ou l'autre des deux classes ; tout nombre de la classe inférieure est plus petit que tout nombre de la classe supérieure. C'est les conditions i" et 2° du n° 7 ; dans la classe inférieure, il n'y a pas de nombre a plus grand que tous les autres ; en effet, dire que le nombre positif a appartient à la classe inférieure, c'est dire que aest plus petit que 3 et il y a dans la môme classe un nombre positif a' tel que 3 — a- soit moindre que 3 — a% ce qui suppose a' >■ a ; de même, il n'y a pas dans la classe supérieure de nombre qui soit plus petit que tous les autres. C'est la condition 3" du même numéro.

On a ainsi défini un mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes satisfaisant aux conditions i°, 2°, 3', on a défini le nombre irrationnel /S. Remarquons qu'on n'a en aucune façon le droit de dire actuellement que le carré de ce nombre est égal à 3 ; les mots « carré d'un nombre irrationnel » n'ont actuellement aucun sens.

10. — Concevons un mode de décomposition des nombres rationnels en deux classes tel que tout nombre rationnel figure nécessairement dans une des classes et dans une seule, tel en outre que tout nombre de la première classe, ou classe inférieure, soit plus petit que tout nombre de la seconde classe ou classe supérieure. Logiquement, quatre cas semblent possibles.

Ou bien il n'y a pas dans la classe inférieure de nombre plus grand que tous les autres et il n'y a pas, dans la classe supérieure

•de nombre plus petit que tous les autres ; c'est ce qui est arrivé dans l'exemple précédent.

Ou bien, il y a, dans la classe inférieure, un nombre plus grand que tous les autres et il n'y a pas, dans la classe supérieure, de nombre plus petit que tous les autres. C'est ce qui arriverait si, par exemple, on plaçait dans la classe inférieure le nombre 5 et tous les nombres rationnels plus petits que 5, dans la classe supérieure tous les nombres rationnels plus grands que 5.

Ou bien il n'y a pas, dans la classe inférieure, un nombre plus grand que tous les autres et il y a dans la classe supérieure un nombre plus petit que tous les autres. Par exemple, la classe inférieure est formée des nombres rationnels plus petits que 5, la classe supérieure du nombre 5 et des nombres rationnels plus grands.

Ou bien il y a dans la classe inférieure un nombre a plus grand que tous les autres (de la même classe) et dans la classe supérieure un nombre 6 plus petit que tous les autres ; mais cette dernière supposition doit être rejetée ; enelTet, le nombre rationnel a, appartenant à la classe inférieure, serait plus petit que le nombre h de la •classe supérieure; les nombres rationnels compris entre a et h •n'auraient été rangés dans aucune des deux classes, puisque, étant ,plus grands que a, ils ne peuvent appartenir à la classe inférieure •et que, étant plus petits que b, ils ne peuvent appartenir à la classe supérieure.

Dans le premier cas le mode de décomposition considéré définit un nombre irrationnel A ; ce nombre est dit plus grand que les nombres de la classe inférieure, plus petit que les nombres de la classe supérieure. Il serait légitime, dès à présent, d'appeler les nombres de la classe inférieure « les nombres rationnels plus petits que A » et les nombres de la classe supérieure « les nombres rationnels plus grands que A )) . Je continuerai, pendant quelque temps, de dire un nombre de la classe inférieure relative à A ou un nombre de la classe supérieure relative à A, au lieu de dire un nombre rationnel plus grand, ou plus petit que A, afin que le lecteur se rappelle bien que ce n'est pas le nombre irrationnel A qui sert à définir les nombres rationnels plus petits ou plus grands que lui, que c'est au contraire ces nombres rationnels, ou plutôt la façon dont ils sont rangés dans les deux classes, qui définissent le nombre irrationnel A.

faïAi'iJ'ui; r. — nomiiuks lUP.ATioxNrcr.s lo

Dans lo second et dans lo troisième cas, je dirai que le mode de décom])Osilion considéré délinit le nond)ro ralionnel \ qui, d.ins li; second cas, appartient à la classe inférieure et est plus jrrand nue tous les autres nombres do celte classe, qui, dans le troisième cas, appartient à la classe supérieiu'e et est plus petit fpjo tous les autres nombres de cette classe. Pour l'uniformité du langage, je remplacerai ces deux modes de décomposition par un mode unique qui consistera à séparer tous les nombres rationnels en trois classes dont l'une contiendra le seul nombre rationnel A. dont les deux autres seront formées, l'une, la classe inférieure relative au nombre A, par les nombres rationnels plus petits que \, l'autre, la classe supérieure relative au nombre A, par les nombres rationnels plus grands que A; dans la classe inférieure aucun nombre n'est plus grand que tous les autres nombres de cette classe ; dans la classe supérieure aucun nombre n'est plus petit que tous les autres nombres de cette classe.

En définitive, on se bornera à considérer deux modes de décomposition des nombres rationnels, l'un en deux classes, qui définit un nombre irrationnel, l'autre en trois classes, qui définit le nombre rationnel unique qui constitue l'une des classes. Ces deux modes de décomposition seront dits respectivement le premier et le second mode. Dans les deux modes, la classe inférieure ne comporte pas de nombre plus grand que les autres, et la classe supérieure de nombre plus petit que les autres. Dans le second mode, on sait déjà (n^ 3) qu'il est possible de trouver dans laclasse inférieure et dans la classe supérieure des nombres (rationnels) dont la diiTérence est aussi petite qu'on le veut; on va voir qu'il en est de même pour la décomposition du premier mode.

Considérons une telle décomposition, ou. si l'on veut, un nombre irrationnel A. Soit s un nombre rationnel positif quelconque et considérons, comme au n° 3, la progression arilbmétique de raison c, indéfinie dans les deux sens,

Chaque terme de cette progression appartient, soit à la classe inférieure, soit à la classe supérieure ; il y a d'ailleurs, dans cette suite, des termes qui appartiennent à chacune des classes, à la. classe supérieure, par exemple, puisqu'il y a dans celte suite des

l4 INTRODUCTION A LA. THEORIE DES FONCTIONS

termes qui dépassent tel nombre (rationnel) de la classe supérieure que l'on voudra.

D'autre part, entre deux termes de cette suite qui appartiennent, le premier à la classe inféi-ieure, le second à la classe supérieure, il n'y a qu'un nombre limité de termes ; soit ni le plus grand de ceux: qui appartiennent à la classe inférieure, n étant un nombre -entier, positif, nul ou négatif; {n -t- i)c sera évidemment le plus petit des termes qui appartiennent à la classe supérieure; on dira, comme au n° 3, que lu et [n -H i)c sont les valeurs approchées de A, à £ près, par défaut, et par excès. La seule différence avec ce qui a été dit au n° 3 est que, ici, le nombre A. ne peut coïncider aA^ec sa valeur approchée par défaut. La différence s entre les nombres m et [n h- 1)1 pouvant être supposée aussi petite qu'on le veut, la proposition est démontrée.

H. — Relativement à cette notion de la valeur approchée d'un nombre A à s près, par défaut ou par excès, il convient de faire la remarque suivante. Soit, en désignant par p un

nombre naturel quelconque, s' = - ; considérons la progression

arithmétique, indéfinie dans les deux sens,

(II) ..., — 2S', — e', O, £', 2£',...;

•elle permettra, comme tout à l'heure, de déterminer les valem's approchées n's', {11' h- i);', par défaut et par excès, de A; je dis que l'on a

En effet, tous les termes de la suite (J) figurent dans la suite (II) ; donc le plus grand terme de la suite (I) qui appartienne à la ■classe inférieure ne peut pas être supérieur au plus grand terme de la suite (II) qui appartient à cette même classe ; on a donc bien n'z' ^ iiî ; la seconde inégalité se démontre de même. Puisque ii'e' est certainement plus petit que (n -+- i) c, n'c s'obtient en ajoutant à Ile un nombre rationnel, positif ou nul, moindre que £. Ces •conclusions valent évidemment que le nombre A soit irrationnel ou xationnel.

Cfi.vriTUE I. — >"OM!iiu;s iiu; miowels i.")

'Ceci s'ap[)lique en particulier aux valeurs upproclices par dé-

îaut et par excès d un nombre A a — ^ > ..... ,...

'^ KJ lOO IO(iO lO''

près. Convenons d'écrire toujours un nombre décimal donné, ainsi qu'on fait d'ordinaire dans les tables numériques, de façon que la mantisse (la partie qui suit la virgule) de ce nombre soit positive. La partie entière sera négative si le nombre est négatif. Alors les valeurs approchées de A, par défaut, à o, i ; o,oi ; o,ooi ;... formeront, d'après ce qu'on vient de dire, une ■suite déterminée (') de nombres décimaux, dont la mantisse comprendra un, deux, trois,... chiffres, et dont chacun s'obtiendra en plaçant un chiffre décimal (qui peut être un zéro) à la droite du précédent ; les termes de cette suite ne vont jamais en décroissant. En ajoutant une unité au dernier chiffre de chaque terme de cette •suite, on forme la suite des valeurs approchées de A, par excès, à o,i ; o,oi ; o.ooi ;... près. Les termes de cette suite, dont chacun ■est certainement plus grand que n'importe quel terme de la première suite, ne vont jamais en croissant.

On parvient ainsi à la représentation décimale d'un nombre quelconque A, formée au moyen d'une partie entière positive, nulle ou négative), et d'une infinité de chiffres décimaux, dont ■chacun est déterminé, dès qu'on se donne le mode de décomposition des nombres rationnels qui définit A; en s'arrêtant au p"

chiffre, on obtient la valeur approchée de A, à — - près, par défaut ; en augmentant ce chill're d'une unité, on obtient la valemapprochée de A, à — - près, par excès. On verra plus tard que,

înAersement, cette suite de chiffres décimaux, si elle est déterminée, détermine à son tour le nombre A.

12. — On ne s'est occupé, jusqu'à présent, que d'un seul nombre irrationnel à la fois : il importe de savoir comparer deux nombres A, B irrationnels ou non.

Deux nombres A, B sont dits égaux (et l'on écrit A = B) si les deux décompositions qui les définissent sont les mêmes. Cette façon de parler est évidemment légitime si les deux nombres A,

(•') C'esl-à-dire que, à chaque raHS, se treuve un nombre déterminé.

l6 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

B sont rationnels ; elle n'est rien autre chose qu'une définition si les deux nombres sont rationnels ; en vertu de cette définition, un nombre est égal à lui-même et deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux .

Pour être certain que deux nombres A et B sont égaux, il suffit de savoir que les deux classes inférieures relatives à ces nombres sont identiques (que tout nombre qui appartient à la première appartient à la seconde, et que tout nombre qui appartient à la seconde appartient à la première) .

Supposons en effet que ces deux classes inférieures coïncident.

Tout d'abord il est impossible que, des deux nombres A et B, l'un soit irrationnel et l'autre rationnel, c'est-à-dire que Tune des décompositions, celle qui définit A, par exemple, soit du premier mode, et l'autre des décompositions, celle qui définit B, soit du second mode. S'il en était ainsi, en effet, le nombre rationnel B ne pourrait appartenir à la classe inférieure relative à A, qui est la même que la classe inférieure relative à B, formée de nombres rationnels plus petits que B ; il ne pourrait non plus appartenir à la classe supérieure relative à A, sans quoi il y aurait dans cette classe supérieure un nombre a! plus petit que B, et qui, pour cette raison, devrait appartenir à la classe inférieure commune à B et à A.

Si le nombre A est irrationnel, il en est donc de même du nombre B, et les deux classes supérieures, formées de tous les nombres rationnels qui ne figurent pas dans la classe inférieure commune à A et à B sont identiques : les deux décompositions sont les mêmes ; les deux nombres A et B sont égaux.

Si les deux nombres A et B sont rationnels, on voit comme tout à l'heure que B ne peut appartenir ni à la classe inférieure relative à A, ni à la classe supérieure : il reste la supposition que B soit égal à A. Dans tous les cas les deux modes de décomposition qui définissent A et B sont identiques.

Il est à peine utile de dire que l'on pourrait encore affirmer l'égalité des nombres A et B si l'on savait que les deux classes supérieures relatives à ces deux nombres sont identiques.

Enfin on peut encore affirmer cette égalité si l'on sait que tout nombre appartenant à la classe inférieure relative à A se trouve dans la classe inférieure relative à B, et que tout nombre apparte-

DHAl'ITKR I. NOMUUKS IHIUTIO\Ni:r,S

nant à la classe supérieure relative à A. se trouve dans la classe supérieure relative à B. Car si l'on considère un nombre de la classe inférieure relative à B, il ne peut être dans la classe supérieure relative à \, sans quoi il serait aussi dans la classe suj)éricurc relative à !> ; il ne peut être égal à A, car alors un nombre b delà classe inférieure relative à 15, mais plus grand rpie A, ajtpartiendrait à la classe supérieure relative à A, donc encore à la classe supérieure relative à B. Ainsi tout nombre de la classe inféiieurc relative à B se trouve dans la classe inférieiu-e relative à A ; mais, par hypothèse, tout nombre de la classe inférieure relative à A se trouve dans la classe inférieure relative à B : les deux classes inférieures sont identiques.

13. — Les notions relatives à l'inégalité des nombres rationnels ou irrationnels pourraient être renvoyées après la théorie de 1 addition ; elles se présentent trop naturellement pour qu'on en retarde l'explication. Observons d'abord que ces notions sont acquises lorsque l'un des deux nombres que l'on veut comparer est rationnel. Les inégalités a < A (ou A >> a), A ■< b (ou b >> A), où l'on suppose que a et 6 sont rationnels, veulent dire simplement,: « a appartient à la classe inférieure, b appartient à la classe supérieure relative au nombre A » : elles impliquent la conclusion a <i b. On peut donc les réunir en écrivant a < A << i. Elles impliquent aussi l'existence de nombres rationnels a', b' tels que l'on ait a < a' < A < 6' < 6.

Soient A et B deux nombres quelconques, non égaux. C'est donc que leurs classes inférieures ne sont pas identiques. Il y a un nombre qui figure dans l'une et non dans l'autre ; par exemple un nombre a qui ligure dans la classe inférieure relative à A (a <; A) et qui ne figure pas dans la classe inférieure relative à B, qui est donc soitB, soit un nombre de la classe supérieure relative à B ; en remplaçant au biesoin a par un nombre rationnel plus grand que lui, mais appartenant toujours à la classe inférieure relative à A, on peut se borner à examiner la seconde hypothèse [a >> B).

Toutes les fois qu'il y aura un nombre rationnel a figurant dans la classe inférieure relative à A (a <C A) et dans la classe supérieure relative à B (a >■ B), je dirai que A est plus grand que B, ou que lî est plus petit que A, et j'écrirai A >• B, ou B << A. Inversement

Tanxery I. — Inlrodaction à la théorie des fonctions 2

l8 INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

ces dernières façons de parler ou d'écrire reviennent à affirmer l'existence d'un nombre rationnel a appartenant à la fois à la classe inférieure relative à A (a < A) et à la classe supérieure relative àB(a>B).

Cette affirmation exclut la supposition A = B, puisque les deux classes inférieures relatives à A et à B ne sont pas identiques. Elle exclut aussi la supposition B > A, c'est-à-dire l'existence d'un nombre rationnel b tel que l'on ait B > 6, 5 > A, car les inégalités 6>>A, A>a, où 6, a sont rationnels, impliquent b'>a, et les inégalités a >• B, B > 6 impliquent a^ b.

Il est maintenant bien aisé de voir que, si A, B, C sont des nombres quelconques, les deux inégalités A >> B, B >> C entraînent l'inégalité A > C. En effet, les deux inégalités A > B, B > G impliquent l'existence de nombres rationnels a, b tels que l'on ait

Les inégalités a > B, B > 6, où a et b sont rationnels, entraînent a'> b; l'inégalité 6 > C exigera donc que a, plus grand que b qui appartient à la classe supérieure relative à C, appartienne aussi à cette classe ; en d'autres termes, on a « >■ C ; enfin les inégalités A > a, a> C entraînent A > C, d'aj>rès la définition même.

Si le lecteur veut bien se reporter un instant à ce qui a été dit sur la correspondance entre les points d'une droite et les nombres, il apercevra de suite que les notions de « plus grand, plus petit » qui ont été indiquées au n° 8 coïncident avec celles qu'on vient de développer.

Un nombre A est dit positif si l'on a A >• o. Si A est irrationnel? cela veut dire que le nombre rationnel o appartient à la classe inférieure relative à A. Un nombre A est dit négatif si l'on a A<Co. Dans la classe inférieure relative a un nombre positif, il y a des nombres positifs. Dans la classe supérieure relative à un nombre négatif, il y a des nombres négatifs.

14. — Aux nombres rationnels a, b,... correspondent des nombres rationnels symétriques (^) — a, — 6,... ; et si les premiers sont

(') L'expression de « nombres symétriques » employée par quelques mathématiciens me paraît préférbale à celle de « nombres égaux et do signes contraires ».

CriAJ'lTIli: I. NOMIîHKS lUIVAïIO-NMÎLS

ranges par ordre de j^randciir croissante, les seconds sont rangr's par ordre de grandeur décroissante. D'après cela, à chaque nombre irrationnel A, on peut faire correspondre vni nombre irrationnel A' de la façon suivante :

La classe inférieure relative à A' est formée des nombres de la classe supérieure relative à A changés tous de signe; la classe supérieure relative à A' est formée des nombres de la classe inférieure relative à A tous changés de signe. Il est clair que les deux classes ainsi définies comprennent tous les nombres rationnels ; sauf ce dernier point, ce qu'on vient de dire s'appliquerait aussi bien à un nombre rationnel. Les deux nombres A, A', dont chacun se déduit de l'autre de la même façon, sont dits symétriques (ou égaux et de signes contraires). Si o figure dans la classe inférieure relative à l'un d'eux, o figure évidemment dans la classe supérieure relative à l'autre; si l'un est positif, Tautre est négatif; la valeur absolue des deux nombres est celui des deux qui est positif; on la désigne par le symbole | A |. Deux nombres symétriques ne peuvent être égaux que s'ils sont nuls ; leur valeur absolue est alors o. On convient de représenter par -t- A le même nombre que A et par — A le nombre symétrique de A ou de -t- A,

15. — Pour définir un nombre irrationnel A, il n'est pas nécessaire de faire intervenir tous les nombres rationnels ; si, par exemple, on a un mode de décomposition de tous les nombres rationnels compris entre les deux nombres rationnels a, h {a <C b) en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus joetit que tout nombre de la seconde classe, qu'il n'y ait pas dans la première classe de nombre plus grand que tous les autres et qu'il n'y ait pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres, il suffira d'adjoindre à la première classe ainsi formée a et tous les nombres rationnels plus petits que a, à la seconde classe b et tous les nombres rationnels plus grands que b pour avoir défini un nombre irrationnel au sens du n" 10. Plus généralement, on conçoit que ce qui importe c'est les nombres rationnels très voisins qui enserrent en quelque sorte le nombre à définir. La généralisation que j'ai en vue exige quelques explications relatives aux ensembles de nombres, dont il sera souvent question.

20 INTRODUGTIOJî A LA THEORIE DES FONCTIOIVS

16. — La notion d'ensemble est de celles que le lecteur possède déjà. On dit une chose très claire en parlant de l'ensemble des nombres entiers, de l'ensemble des nombres premiers, de l'ensemble des nombres rationnels, de l'ensemble des nombres positifs qui peuvent être représentés par des fractions irréductibles dont le dénominateur est lo ou une puissance de lo, etc.

Tous les ensembles que je viens d'énumérer comprennent un nombre infini d'éléments; à ce titre, on les appelle des ensembles infinis. C'est surtout à ceux-là que nous aurons affaire. Un ensemble déterminé est caractérisé par ceci : si on considère un nombre quel conque, ce nombre appartient ou n'appartient pas à l'ensemble. Soit par exemple l'ensemble des nombres premiers (positifs) ; un nombre a appartiendra à l'ensemble s'il est entier, positif et premier ; dans le cas contraire, il n'appartiendra pas à l'ensemble. Cette détermination résulte souvent d'un caractère commun à tous les nombres de l'ensemble et à ceux-là seulement. On peut aussi bien considérer des ensembles de nombres irrationnels que de nombres rationnels ; c'est, pour le moment, de ces derniers seuls qu'il va être question.

On a défini plus haut un nombre quelconque, rationnel ou non. par l'ensemble des nombres rationnels plus petits que lui, et l'ensemble des nombres rationnels plus grands que lui. A ces deux ensembles, on peut en substituer d'autres analogues.

17. — Soient (E), (E') deux ensembles de nombres rationnels jouissant des propriétés suivantes :

Tout nombre de l'ensemble (E) est plus petit que tout nombre de l'ensemble (E) ; dans l'ensemble (E) il n'y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres ; dans l'ensemble (E') il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres. Enfin, si petit que soit le nombre rationnel positifs, on peut trouver un nombre a dans l'ensemble (E) et un nombre a dans l'ensemble (E') dont la différence soit moindre que £, les propriétés appartenaient aux ensembles qui ont servi au n" 10 à définir un nombre irrationnel ; on va montrer qu'elles suffisent pour définir un nombre, qui peut d'ailleurs être rationnel ou irrationnel.

Les classes inférieure et supérieure de ce nombre seront définies par la condition de contenir l'une tous les nombres de (E) et, par

CIIAPITHE I. NOMItUES II'.llA.TIONNELS 2f

suite, tout nombre valionnel qui est plus petit qu'un nombre de (1^), l'autre tous les nombres de (E') et, par suite, tout nombre rationnel plus grand qu'un nombre de (E') ; puisqu'il n'y a pas dans (E) de nombre plus grand que tous les autres, on peut dire encore que cliaque nombre de la classe inférieure est caractérisé parce fait qu'il y a dans (E) im nombre plus grand que lui; de même cbaque nombre de la classe supérieure est caractérisé par ce fait qii'il y a dans (E') un nombre plus petit que lui. Si aucim nombre rationnel n'échappe à ce classement, en d'autres termes, si tout nombre rationnel est, soit égal ou inférieur à un nombre de (E), soit égal ou supérieur à un nombre de (E'), on a affaire au premier mode de décomposition : on définit un nombre irrationnel. S'il y a un nombre rationnel qui échappe au classement, c'est qu'il est à la fois plus grand que tous les nombres de (E) et plus petit que tous les nombres de (E'j, il est donc seul de son espèce, car s'il y avait deux tels nombres rationnels A, B et si l'on avait A >> B, la différence entre un nombre de (E') (plus grand que A) et un nombre de (E) plus petit que B) serait toujours supérieure à A — B, contrairement à la dernière condition imposée aux ensembles (E), (E').

18. — Par exemple, on enseigne, en arithmétique, à trouver les nombres de la forme — ^7^ , où a„ est un entier positif, qui satisfont aux conditions

lo'V ^ " \ 10"

l'ensemble (Ë) des nombres de la forme -^^, et l'ensemble (E') des

nombres de la forme ~ — — , jouissent évidemment des propriétés

requises ; ils peuvent servir à définir le nombre irrationnel v •^■ . Considérons un symbole comme 3, i^iSg 205. ..ou 7,2817181..,, formé d'un nombre entier positif, nul ou négatif (') suivi d'une suite indéfinie de chiffres décimaux ; cette suite est supposée déterminée,

(') 3 ou — j dans les exemples ciioisis ; le signe — est placé, suivant l'usage adopté pour les Tables numériques, au-dessus du nombre entier 7, pour indiquer que, seul, il doit être regardé comme négatif.

c'est-à-dire que le chiffre qui occupe un rang déterminé est déterminé. En s'arrêtant quelque part dans la suite, au quatrième chiffre décimal si l'on veut, on formera un nombre décimal déterminé, ce sera dans le premier exemple le nombre positif, 3,i/ii5, dans le second exemple, le nombre négatif 7,2817 = 0,2817 — 7 = — 6,7183. Les nombres décimaux que l'on obtient en limitant la suite quelque part forment un ensemble (E), et les nombres qui se déduisent des précédents en ajoutant une unité à leur dernier chiffre décimal constituent un ensemble (E') ; ces deux ensembles satisfont aux conditions requises, sauf dans le cas où, à partir d'un certain rang, les chiffres se trouvent être tous des o, et celui où, à partir d'un certain rang, les chiffres se trouvent tous être des 9 : dans le premier de ces cas, il y a dans (E) un nombre plus grand que tous les autres, et dans le second, il y a, dans (E'), un nombre plus petit que tous les autres. J'observe en passant que, dans le premier cas, l'ensemble (E), dans le second cas, l'ensemble (E') ne contient qu'un nombre fini de termes distincts. En écartant ces deux cas, les deux ensembles (E), (E'), définissent un nombre A, dont la suite considérée est la représentation décimale, au sens du n° 11, c'est-à-dire que, si on limite la suite au p'^ chiffre décimal, le nombre décimal ainsi obtenu est la valeur approchée de A, par défaut, à - -7 près. La représentation décimale d'un nombre irrationnel A ne peut se trouver ni dans l'un ni dans l'autre des cas d'exception : bornons-nous, en effet, à considérer le premier et supposons que, dans la représentation décimale du nombre irrationnel A tous les chiffres qui suivent le p" chiffre décimal soient des zéros. Désignons par a le nombre (rationnel) obtenu en

s'arrêtant à ce p'^ chiffre ; c'est la valeur approchée de A à — ;

près, par défaut; ce serait aussi, dans la supposition, la valeur

approchée de A à — - près, q étant un nombre entier quelconque

plus grand que p. Or, soit o! un nombre rationnel tel que l'on ait a << a' << A : il existe un entier n, que l'on peut supposer plus grand que p, pour lequel on aura

CIIAPITRK I. NOMHKKS IIIRATIONNELS 3.3

le nombre a' élant plus petit que A, il en est de même du nombre pbis petit a -h — - ; il est dès lors impossible que a soit la valeur

approcbée de A, par défaut, à — près.

Quant aux nombres rationnels, on sait, par les éléments de l'aritlmiétiquc, que leur représentation décimale, définie comme au n° 11, peut très bien être limitée, ou, si l'on veut, continuée par un nombre illimité de zéros, mais que, lorsqu'on réduit une fraction ordinaire en fraction décimale, il ne peut arriver que tous les chiffres qui suivent un chiffre déterminé soient des g.

Excluons donc des symboles que nous avons considérés au débu^ de ce numéro ceux oui tous les chiffres qui suivent un chiffre déterminé seraient des 9. On peut dire alors qu'un symbole de l'espèce considérée définit un nombre rationnel ou irrationnel A ; c'est la représentation décimale de ce nombre A.

Les représentations décimales de deux nombres A et B ne .peuvent coïncider que si les deux nombres sont égaux ; si. en limitant ces deux représentations décimales au p^ chiffre décimal, la première fournit un nombre plus grand que la seconde, on •voit de suite que A est plus grand que B.

J'arrive aux opérations sur les nombres irrationnels.

19. — Soient A et B deux nombres rationnels ou irrationnels. Leur sommeA -+- B est, par définition, un nombre plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus petits que A et B, et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que A et B. On va montrer que cette double condition définit un nombre et un nombre unique.

Considérons en effet l'ensemble (E) des nombres distincts que l'on peut obtenir en ajoutant deux nombres a. b, appartenant respectivement aux classes inférieures relatives à A, B, et l'ensemble (E') des nombres distincts, que l'on peut obtenir en ajoutant deux nombres rationnels a', b' respectivement plus grands que A, B.

Tous les nombres de (E) et de (E') sont rationnels. Si le nombre •cherché existe, sa classe inférieure doit contenir tous les nombres de (E), sa classe supérieure tous les nombres de (E') : D'ailleurs

tout nombre de (E) est évidemment plus petit que tout nombre de (E') ; dans (E) il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres, puisqu'il y a dans les classes inférieures relatives à A et B des nombres respectivement plus grands que a, b, et qu'il y a donc des nombres dont la somme est plus grande que a ^ b. De même, il n'y a pas dans (E) de nombre plus petit que tous les autres. Enfm, il y a dans (E] et dans (E') des nombres dont la différence est aussi petite qu'on le veut, moindre, par exemple, que le nombre rationnel positif £ ; on peut en effet supposer a' — a et b' — b moindres

que - ; on aura alors a' + b' — (a + 6) <C z.

Les deux ensembles (E), (E') satisfont donc aux conditions que Ton a spécifiées au n° 17 ; ils définissent un nombre irrationnel ou rationnel plus grand que tous les nombres de (E), plus petit que tous les nombres de (E') ; c'est le nombre A -H B. Cette définition s'accorde évidemment avec la définition ordinaire quand A et B sont rationnels.

Les ensembles (E), (E') ne sont autres d'ailleurs que les classes inférieure et supérieure relatives à A -H B. Considérons en effet l'ensemble (E) et la classe inférieure ; tout nombre de (E) fait partie de cette classe ; je dis que tout nombre m de cette classe est un nombre de (E) ; en effet, par définition, ou il est égal à un nombre de (E), ou il est inférieur à un tel nombre, c'est-à-dire à la somme de deux nombres a, b, qui appartiennent aux classes inférieures relatives à A, B : on a alors m <i a -+- b, et le nombre m est la somme des deux nombres a et m — a <^ b qui appartiennent aux classes inférieures relatives à vV, B ; donc m est un nombre de (E). La démonstration est la même pour la classe supérieure.

Par exemple, o est la somme de deux nombres symétriques quelconques A, A' ; car o est plus grand que la somme de deux nombres appartenant aux classes inférieures relatives à A, A', somme qui est évidemment négative, de même o est plus petit que la somme de deux nombres appartenant aux classes supérieures relatives à A, A', somme qui est évidemment positive ; o satisfait à la définition de la somme des nombres A, A'.

20. — En vertu des propriétés des nombres rationnels, les ensembles (E), (E') ne dépendent pas de l'ordre des nombres A, B,

CIIA.PIT1U: l. >OMfiUES IimATIONNKLS *^;>

on a donc

La somme de trois nombres A, B, G s'obtient par dcQnition en faisant la somme S dos deux premiers nombres A, B, puis l.t somme S + C. La classe inférieure relative à ce nombre est formée des nombres obtenus en ajoutant un nombre appartenant à la classe inférieure relative à Cet un nombre appartenant à la classe inférieure relative à S ; ce dernier nombre csl la somme do deux nombres qui appartiennent respectivement aux classes inférieures relatives à A et à B ; la classe inférieure relative à S -t- G ou à (A -H B) -+• G est donc formée des nombres qui sont la somme de trois nombres appartenant respectivement aux classes inférieures relatives à A, B, G. De même la classe supérieure relative ù (A -H B) H- G est formée des nombres qui sont la somme de trois nombres qui appartiennent respectivement aux classes supérieuresrelatives à A, B, G. Ge raisonnement s'étendrait sans peine aux sommes de quatre, cinq,... nombres, formées en ajoutant successivement ces nombres, dans l'ordre où ils sont donnés. La démonstration relative à la somme de trois nombres suffit à montrer que l'on a

puisque les modes de décomposition qui définissent les deux membres sont les mêmes. Les égalités (i) et (2) suffisent, comme on sait, à montrer que dans une somme, on peut intervertir l'ordre des termes, et remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée. Au reste, ces propositions résultent directement des propositions analogues relatives à l'addition des nombres rationnels et de ce que la classe inférieure relative à une somme quelconque est formée de nombres qui sont la somme de nombres appartenant respectivement aux classes inférieures relatives à ses termes.

On a

En effet, tout nombre qui appartient à la classe inférieure relativeà A + G étant la somme d'un nombre a appartenant à la classe in-

férieure relative à A et d'un nombre rationnel négatif, est moindre que a et par suite appartient à la classe inférieure à A ; de même tout nombre appartenant à la classe supérieure à A h- o appartient à la classe supérieure à A ; les nombres A H- o et A sont ■égaux (n° 12).

Les égalités (i), (2), (3) expriment les propriétés fondamentales de l'addition.

On a A -^ B >> A ou A H- B << A suivant que B est positif ou négatif.

Supposons en effet B >. o et soient, en employant de petites lettres pour désigner les nombres rationnels

'on peut, d'après ce qui précède, affirmer l'existence de tels nombres rationnels b, a, a : le nombre a étant plus petit que a h- 6 est plus petit que A -H B et les inégalités a' < A H- B, a' ^ A entraînent A -+- B > A.

21. — La définition de la soustraction est la même que celle ■qui est habituellement donnée au début de l'algèbre.

La différence entre les deux nombres A, B est un nombre tel qu'en lui ajoutant B on trouve A. Supposons qu'il existe un tel nombre x, on aura ic + B = A ; par suite, a; H- B h- B' est ■égal à A -h- B', en désignant par B' le symétrique de B ; mais la •somme a? -f- B H- B' est égale à a? + (B -h B') := a? -I- o = x.

Le nombre cherché, s'il existe, est donc unique et égal à A -l- B'; réciproquement la somme de A + B' et de B est égale à A + (B' -h B), ■ou à A -h o = A. Le nombre cherché existe, il est unique, on l'obtient en ajoutant à A le symétrique B' ou — B de B ; conformément aux conventions de l'algèbre on écrit cette somme A — B. On a

suivant que B est positif, négatif ou nul, puisque, suivant les cas, — B est négatif, positif ou nul.

Si A est plus grand que B, G = A — B est positif; car si G ■était négatif ou nul, B H- G ou A serait plus petit que B, ou égal -â B, ce qui contredit l'hypothèse.

CIIAPITUE 1. N0MI5UES tllUATIOISNEr.S ^7

Réciproquement si G = yV — li est positif, A, qui est la somme •de B et d'un nombre positif G, est plus grand que B.

Dès lors, on n'a, comme on sait, aucune [)eine à établir les propositions concernant les inégalités et les combinaisons des inégalités qui ne dépendent que de l'addition ou de la soustraction. Par exemple, si les deux nombres A et B sont compris on lie les nombres A', B', la dilTérence entre les nombres A, B est moindre en valeur absolue que la différence entre les nombres A', B'. Si, en particulier, on sait que, quelque petit que soit le nombre positif s, il existe deux nombres A', B', qui comprennent entre eux les nombres A, B, et dont la dilï'érencc est, en Aaleur absolue, moindre <jue c, on peut aflirmer que les nombres A, B sont égaux. Cette proposition, qui est souvent commode pour démontrer l'égalité de ■deux nombres irrationnels, aurait pu être facilement établie dès le n° 13, en se bornant au cas où A', B', ê sont rationnels.

22. — Soient, sur une droite trois points P, Q, R ; je suppose que Q soit entre P et R. Quand on a pris une unité de longueur, les longueurs des segments PQ, QR, PR sont représentées par des

Fig. 3.

nombres (positifs), rationnels ou non, que je désignerai par [PQ], [QR], [PR] ; quand les trois segments sont commensurables à l'unité, on sait que l'on a