La série

dont on a établi au n° 95 qu'elle était absolument convergente, quel que fût le nombre a, fournit une application intéressante de la règle donnée plus haut pour former le produit de deux séries. Si on applique cette règle au produit de cette série par la série

obtenue en remplaçant a par b, on trouve que le (n -+- i)" terme du produit est égal à

ou à

en sorte que le produit des sommes des deux séries s'obtient sous une forme pareille à chacune d'elles, à savoir

l56 INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

116. — Les exemples qui précèdent suffisent pour que l'on comprenne le rôle que les séries absolument convergentes jouent dans l'analyse, à cause de la façon dont on peut les manier et les transformer; il en est tout autrement des séries qui sont convergentes sans l'être absolument ; leur somme dépend alors essentiellement de l'ordre des termes.

Soit (S) une telle série ; puisqu'elle n'est pas absolument convergente, on peut prendre assez de termes parmi les termes positifs pour que leur somme dépasse tel nombre que l'on voudra ; de * même, on peut prendre assez de termes négatifs pour que leur somme soit moindre algébriquement que tel nombre négatif que l'on voudra ; ceci posé, soit a un nombre quelconque, écrivons d'abord les premiers termes positifs de (S), dans l'ordre où ils se présentent, et arrêtons-nous dès que leur somme dépasse a ; écrivons à la suite les premiers termes négatifs de (S), sans changer leur ordre, et arrêtons-nous dès que la somme de tous les termes écrits est inférieure à a ; écrivons à la suite des termes positifs de (S), en commençant par le premier de ceux qui ont été négligés, et arrêtons-nous dès que' la somme de tous les termes écrits est supérieure à a; recourons ensuite aux termes négatifs, etc.. En con* tinuant ainsi indéfiniment, on formera une nouvelle série, composée des mêmes termes que (S) et dans laquelle la somme des n premiers termes est tantôt plus petite, tantôt plus grande que a ; on voit sans peine que cette somme, lorsque n augmente indéfiniment, a a pour limite.

Si, en eflet, le p" terme de la série ainsi formée est, par exemple, un terme positif, suivi de q termes négatifs, suivis eux-mêmes de termes positifs, on aura en désignant comme d'habitude par S„ la somme des n premiers termes de la série (S).

La première inégalité montre que la différence entre S^^ et a est au plus égale à S^ ■ — S^ i, c'est-à-dire au p^ terme de (S), il en est de même, en vertu des secondes inégalités des différences entre a et S;; + 1, S;, + 2, ..., S;, 4-9 — 1 ; quant à la différence entre a et S^^^, elle est au plus égale au [p -\- g)" terme ; comme les termes de la

ciiAPiTUE m. — vnoDuiTS INFINIS lôy

série (S) décroissent indérinimcnt, quand leur rang augmente indéfiniment, on a lim (Sn — a) = o.

ni. — PRODUITS INFINIS

117. L'intérêt qui s'attache aux séries à termes positifs se retrouve dans les produits infinis

pour lesquels tous les termes i^, u.^, ..., u„, ... sont positifs. Il est aisé tout d'abord d'avoir la condition de convergence d'un tel produit ; le produit p„ = (i + «,) (i + «2) ••• (i H- «n) de n premiers facteurs va en augmentant avec n ; il faut et suffit, pour la conver"-ence, que ce produit n'augmente pas indéfiniment avec n ; or ce produit est évidemment supérieur à i -H Ui H- «2 H- ... +■ ««. 11 faut donc que la somme Sn des n premiers termes de la série à termes positifs

ne croisse pas indéfiniment quand n augmente indéfiniment, ce qui revient à dire que la série (S) doit être convergente. Réciproquement, il est aisé de voir que, s'il en est ainsi, le produit (P) est convergent ; en effet si l'on se donne un nombre positif £ < i, il existe alors un nombre naturel n tel que, quel que soit le nombre naturel r, on ait

Un -f 1 -H «« + 2 -H- • • • H- «n + ,• "< S ;

on a d'ailleurs

p„ + r=Pn (l -H «»+l)(' + «" + -2) ••• (l -+- "u + '-);

mais il est clair que l'on a

(l + tt,, ^i) (l + Un +-2) ••• (l + «« + '•)

donc Pn + r <C Pn ^ ^ ''

lors donc que ;■ augmente indéfiniment, p„ + ,- reste au-dessous d'une limite fixe et, par suite, le produit P est convergent.

lG8 INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

On pourrait encore, d'une façon plus directe, remarquer que l'on a, en désigaant par Sn la somme des n premiers termes de (S),

où K désigne un nombre quelconque supérieur à la somme de la série (S) : la série qui figure dans le second membre est toujours convergente, comme on l'a vu au n° 95.

Les produits convergents à termes tous positifs tels que (P) jouissent de la propriété suivante, analogue à celle qui a été signalée pour les séries à termes positifs :

L'ensemble des nombres distincts obtenus en faisant le produit d'autant de facteurs que l'on voudra, pris dans (P), est borné en haut et la borne supérieure de cet ensemble est la valeur du produit infini.

Il en résulte que la valeur du produit (P) est indépendante de l'ordre des facteurs.

Considérons maintenant un produit infini de la forme

OÙ tous les nombres ii^, ii.,, ..., u,i, ... sont positifs et différents de I . Je vais montrer que la convergence de la série

(S) Ih + «2 + ... + Un -h ...

est encore la condition nécessaire et suffisante pour que le produit infini (P') soit convergent.

Je supposerai, dans la démonstration, que les nombres ii^, m^» ..., Un, ... sont tous plus petits qu'un nombre a << i; cette restriction sera levée plus tard.

En désignant par p'^ le produit des n premiers facteurs de (P') on aura