I /' U| \ / II

Pn \ ï — «l/ V I —

comme tous les nombres

u . a. Un

CIIAPITUE lU. l'KODUITS INFINIS 1^9

sont posilifs, il faut et il suffit, pour que -j tende vers une limite

In

quand n augmente indéfiniment^ ([uc la série ù termes positifs (S') -^^- + -^^- + ... + ^^^ + ...

I «( 1 «o I Un

soit convergente ; or les termes de cette série sont compris entre les termes de même rang des deux séries

«1 -{- 11-2 ^ •.. -h Ihl -^ ■■•■>

qui sont convergentes ou divergentes en même temps que la série (S'), puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra pris dans cette série est inférieure à la somme de la première série supposée convergente et supérieure à la somme des termes correspondants de la

seconde. Donc, pour que — tende vers une limite, ou pour queyj',

tende vers une limite différente de zéro, quand n augmente indéfiniment, il faut et il suffit que la série (S) soit convergente : si cette série était divergente, p'„ aurait pour limite zéro. La valeur du produit infini

supposé convergent, étant indépendante de l'ordre de ses facteurs, il en est de même pour le produit

Soit enfin un produit

pour lequel les nombres Ui, v.^, ..., u„, ... peuvent être positifs OU négatifs, mais sont tels que la série

soit absolument convergente ; je suppose de plus que tous ces nombres soient, en valeurs absolues, plus petits qu'un nombre positif

l60 INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

a < I ; si l'on désigne par u^. ii.^, ..., m, ... ceux des nombres Uj, V.2, ..., Vn, ... qui sont positifs et par u\, ii^, ..., Uj, ... ceux qui sont négatifs ; les deux produits

(i + «i) (i -i- u^) ... (i -f- ih) ....

(i -^ u\){i -+- u;) ... (i -hu'j) ...,

sont convergents et le seconda une limite différente de zéro; un raisonnement pareil à celui qui a été employé (n° 98) pour les séries montrera que le produit des n premiers facteurs du produit infini Q, lorsque n augmente indéfiniment, a une limite égale au produit des valeurs des deux produits infinis qui précèdent.

Enfin, on peut s'affranchir de la restriction imposée aux termes de la série

Vj H- ^2 -^ ■• -H w„ -h ...,

d'être, en valeur absolue, plus petits que i, pourvu que cette série soit absolument convergente. A partir d'un certain rang n, en effet, les termes satisferont certainement à cette condition, on est donc assuré que le produit infini

est convergent et a une limite différente de zéro ; soit T cette limite ; le produit des m premiers facteurs du produit infini

(l 4- Vi) (l + V^) ... (l + Vn + r) •■-,

lorsque m grandira indéfiniment, aura pour limite

Cette limite sera différente de zéro, si aucun des facteurs i + v^, I -h u^, ..., I -+- Vn n'est égale à zéro.

il8 — On peut maintenant énoncer les définitions et les proprietes qui suivent :

Un produit iufiai

(i + II,) (i + «2) •■• (i + "") •■•' oii les nombres ih, u^- •■■> ^n, ... peuvent être positifs ou négatifs, est dit absolument convergent si la série

est absolument convergente.

CIIAI'ITKE III. PUODUJTS INFINIS l6l

Leprodiiit des n premiers iacleurs d'un produit absolument convergent tend, lorsque n augmente indéfiniment, vers une limite; cette limite est la valeur du produit ; elle est indépendante de l'ordre des facteurs du produit infini ; elle est nulle si l'un de ces facteurs est nul, et seulement dans ce cas.

On voit que les produits absolument convergents sont maniables au même degré que les séries absolument convergentes.

119. — Soit Y[ (i -"r «^) = (t H- «i) (i -H a^) ... (i -+- ax) ...

a = co

un produit infini, tel que la série 7 ûx soit absolument conver-

gente ; la proposition importante à laquelle on vient de parvenir, à savoir que le produit des n facteurs A„ = TT (i H- «a) a pour n

infini, une limite qui ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont rangés les facteurs du produit infini, peut s'obtenir d'une autre manière qu'il sera plus tard facile de généraliser, et que, pour cette raison, il y a lieu de faire connaître ('). Cette proposition, comme on en a déjà fait l'observation^ est immédiate lorsque les termes a» sont tous positifs ou nuls. Admettons la dans ce cas et en désignant par a'x la valeur absolue de a^, posons

K=T\ {i 4- «y. A'=:lim. A,:;

l'existence de la limite A' résulte de ce que la série 2, ^'x ^st con-

ver gente par hypotbèse.

Si c est un nombre positif quelconque, on peut lui faire corres-

(') Le lecteur trouvera ce mode de raisonnement systématiquement employé pour établir les propriétés principales des séries et produits infinis à termes imaginaires dans l'Introduction des Eléments de la théorie des fonctions elliptiques de MM. Tanneiit et Molk, (t. I). Les n°= 119, 124 et la fin du n" 120 suffisent pour en saisir l'esprit.

Tannert I. — întroiuction à la tliéorie des fonctions 11

l62 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

pondre un nombre naturel r assez grand pour que l'on ait, sous les conditions m >> 7i >> 7^

Considérons maintenant la différence A,,^ — A„ ; si l'on développe les produits.

A„ = I H- aj -f- «2 -h . . . H- «;, H- . • . ,

on voit que tous les termes qui figurent dans le second, figurent dans le premier, en sorte que la différence A,„ — A„ est une somme de termes pris dans a^, a,, ..., a,„, de produits de deux, trois, ... de ces termes; quant à la différence A/^^ — A/j. elle est, lorsqu'on l'a développée, composée de la même façon, si ce n'est que a'j, a'.^, ... a'„, y remplacent a^, a^, ..., a,„. Il suffit de se rappeler que la valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues de ses facteurs et que la valeur absolue d'une somme est au plus égale à la somme des valeurs absolues de ses parties pour en conclure que l'on a

sous la seule condition jW^ n, et par conséquent, si m et n sont plus grands que /',

Ceci suffît à prouver que An a une limite pour m infini. Considérons maintenant les deux produits infinis

a ^co

formés avec les mêmes facteurs, rangés dans des ordres différents : on suppose que la série > a^, et par conséquent la série 7 60, est

absolument convergente ; désignons par A„!, B,, les produits de m, n facteurs pris respectivement au commencement du premier et du second produit infini, par a^, 63 les valeurs absolues

CHAPITKK III. mOnUITS INFIMS l63

de a^, bfj, par A'„, Wn ce que deviennent A,,,, T3„ quand on y remplace a^, a.^, ..., a,„ ou h^, b.^, ..., 6„ par a\, a'.,, ..., a',„, ou b\, 6^, ..., b',,. Lorsqu'on se donne n, on peut prendre m assez grand pour que tous les facteurs qui figurent dans B„ figurent aussi dans A,,,; dans ces conditions, on aura, comme tout à l'heure,

or, lorsque n grandit indéfiniment, il en est de même de m ; dans ces conditions A'„i et B^j tendent vers la même limite ; il faut donc que l'on ait aussi

lini. A,„ = lini. B„.

Il est à peine besoin de dire que le même mode de raisonnement aurait pu être employé pour établir les propositions analogues relatives aux séries convergentes.

Faisons encore, en conservant les mêmes notations, les remarques suivantes, relatives aux produits infinis

oc =co a = 30

A= Il (i+«j, A'= n(^+<)

supposés convergents ; considérons les produits infinis

a = oo

qui jouent, par rapport aux précédents, un rôle analogue à celui du reste dans une série ; on aura

et les raisonnements antérieurs montrent que l'on a | R„ | ^ R„. La convergence du produit A', dont tous les facteurs sont supérieurs ou égaux à i, exige que l'on ait lim. RJ, = o ; on peut donc faire

correspondre à chaque nombre positif s un nombre naturel/», tel que l'on ait, sous la condition n >> p,

l64 HNTRODUGTION A LA THÉORIE DES FOJtGTIONS

si l'on a choisi £ > i , i -+- R„ ne pourra être nul si l'on suppose n >-p ; A ne pourra donc être nul que si An, et par suite un de ses facteurs, est nul. On voit ainsi qu'un produit infini, absolument convergent ne peut être nul sans qu'un de ses facteurs soit nul. Il peut être utile d'avoir observé que si l'on fait

a = co a = Il + I

et si l'on suppose £„ << i , on a

comme il résulte sans peine de ce que l'on a dit au n"* 117.

120. — Les considérations et propositions relatives aux séries qui ont été développées dans les n°' 102, 103, 110 s'étendent, avec les changements convenables aux produits infinis.

Considérons, comme au n° 102, un ensemble dénombrable (E) d'objets distincts, dont on désignera l'un quelconque par la lettre p et supposons qu'à chaque objet p de cet ensemble corresponde un nombre Vp tel que la série J^ Up, attachée à l'ensemble (E) |^soit

P absolument convergente, i] sera permis de parler du produit infini

TT (i -+- Vp) attaché à ce même ensemble.

p La valeur de ce produit infini sera celle de

Un),

en supposant qu'on ait établi une correspondance parfaite entre l'ensemble (E) et l'ensemble des nombres naturels et que l'on désigne par Un le même nombre que Vp lorsque l'élément p et le nombre naturel n se correspondent : cette valeur ne dépend pas du mode de correspondance établi entre (E) et l'ensemble des nombres naturels. Soil maintenant (A) un autre ensemble dénombrable d'objets distincts a ; supposons que l'ensemble (E) soit décomposé