CHAPITRE m. PRODUITS INFINIS
en une infinité dénombrable d'ensembles partiels (Ex), sans élément commun, dont chacun corresponde à un élément a do (A). A chacun de ces ensembles partiels est attaché un produit infini
TT (i -t- Up) où le produit est étendu à tous les éléments de l'en-
P semble partiel (Ea). Désignons par i 4- Va la valeur de ce produit
infini. Le produit infini TT (i h- Va), où le produit est étendu à
tous les éléments a de l'ensemble (A) est, absolument convergent et sa valeur est égale à celle du produit infini j j (i -+- Up) attaché
àE.
La démonstration suit pas a pas celle qui concerne les séries, et je crois très inutile d'en infliger l'ennui au lecteur ; je m'arrêterai toutefois un instant sur un petit détail^ qui pourrait échapper au premier abord.
Afin d'établir la proposition analogue à celle du n" 104, on a à considérer un produit dont les facteurs sont des produits infinis en nombre fini. Je me contenterai de considérer le produit de deux produits infinis (absolument convergents)
le raisonnement étant le même dans le cas d'un nombre quelconque /• de produits infinis.
n = oo
Considérons le produit infini W == TT (i + w,i) dans lequel le
n^ facteur i -+- w'„ est égal à [(i -+- u„) (i -h v,,)] : il est nécessaire de prouver que ce produit infini W est absolument convergent et a pour valeur UV ; les mêmes choses doivent être prouvées du produit qui se déduit de W en y supprimant les crochets, c'est-à-dire du produit infini dont i + Un est le (2/1 — i)° et I H- Vn le 211" facteur.
D'après la définition de i H- iv,„ on a Wn = ii-i -+- v,i -i- UnVn ;
l66 INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS
désignons par Un, V^, W^ les produits des ?i premiers facteurs dans les trois produits infinis U, V, W ; on aura Wn "-= U„V„ et par suite lim. W» = UV. Toutefois l'existence d'une limite de W„,
Il = 00
pour n infini, ne suffît pas à prouver la convergence absolue du produit infini dont le n" facteur est i + iVn, à moins que tous les nombres lUn ne soient positifs ou nuls (n° 117). Cette convergence absolue étant ainsi assurée quand les nombres Un, Vn sont eux-mêmes positifs ou nuls, posons dans le cas général
U'„ = \.ll„ |. v'„ = I V„ |, to'n = U'n + «^ + u'„ "« ^
on aura [ ui„ | g lu',^. Le produit infini dont le n" facteur est i -h tf est convergent ; il en est de même de la série à termes positifs
n = C30 n = co
iv',1 ; la série 2, ^^^ étant absolument convergente, le pro-
duit infini I 1 (i + m^^) est aussi absolument convergent. Sa va-
leur est UV.
Maintenant, le produit infini qui se déduit d^e W en supprimant les crochets^ et dont i -h u„ et i -h u,j sont respectivement le (an — i)" et le [211)" facteur, est absolument convergent, puisque la série
est absolument convergente. Le produit des 2 n premiers facteurs de ce produit est encore U„Vn ; la valeur du produit infini est UV comme celle de W.
121. — Si, par exemple, l'ensemble (E) est l'ensemble des couples {a, p) de nombres naturels, sous la condition que la série
soit absolument convergente, la valeur du produit infini
