Un produit infini absolument convergent

Ji =00

peut de diverses façons être transformé en série.

Soit P„ le produit des n premiers facteurs de P. Si l'on considère la série à entrée r"P'°

^'■= 2^ "ai "a, ••• "a,.' aj, ao, ..., a,.

OÙ la sommation est étendue à l'ensemble (E) des systèmes de /'

1^0 I>'TRODUCTION A LA THEORIE DES FO]>îCTIONS

nombres naturels différents (aj, a^, ..,, a,.) tels que l'on ait «i <C a2<C ... <C i^'o cette série est absolument convergente et l'on a

P= iH-S, + s, + ... +s, + ...,

la série qui figure clans le second membre étant elle-même absolument convergente.

Etablissons d'abord cette proposition pour le produit infini obtenu en remplaçant Un par u'n = | m„ ] ; désignons par S,'., Pn, P' les séries ou produits formés au moyen de tt'i, u!.^, ..., comme S,.. Pn, P sont formés au moyen de u^ ii^, ... Si l'on développe V^, on trouvera

en désignant par c', la somme des produits r à /• des quantités u'^. Uj, ..., u'n : on peut supposer que, dans chacun de ces produits les facteurs soient rangés de façon que les indices aillent en croissant ; tous les termes de c,'. figurent dans S|. ; d'ailleurs c^, dépend de n, que r ne peut dépasser. Mais si l'on considère dans S',, un nombre fini de termes, on pourra prendre n assez grand pour que tous ces termes figurent dans a'^ et comme c,' est moindre que P';, et par suite que P', on voit que la somme d'autant de termes qu'on voudra pris dans S|. est inférieure à P' ; la série S^- est donc convergente ; sa somme, que je désignerai aussi par S' , est supérieure ou égale à c',. (quel que soit n) ; mais, comme, d'un autre côté, n peut être pris assez grand pour que 0"r surpasse la somme de tels termes que l'on voudra pris dans S|., il faut que g',, ait pour limite S'" quand n grandit indéfiniment.

Si dans l'inégalité

p;, ^ I + a; 4-a; + ... -Ha;,

qui résulte de la formule (i), on fait croître n indéfiniment, on obtient

r = oo

et cette dernière inégalité montre que la série 2, S',-, où l'on sup-