CHAPITRE III. PnODUITS IXFIMS I7I

pose S[j = I, est convergente. D'autre part la même égalité (i)

montre que l'on a

P,', — 1 — -\ — <7^ -- ... — 7,'. =r rs',^i H- a; j H- ... -h- (t;

Or. le reste d'une série convergente, bornée au (/' -h i)® terme, peut être .supposé plus petit que tel nombre ■ que l'on voudra, pourvu que l'on prenne r assez grand ; on aura dans ces conditions

et en faisant croître n indéfiniment

on voit bien que l'on a

La série S^ étant convergente, H est clair que la série S,- est absolument convergente, que l'on a S^ ^ | Sr | et que, par suite, la série I -h Sj -n So -r- . . . est absolument convergente. Tous les termes qui figurent dans la somme Cr des produits rh.r des quantités «j, Ui, ... u„, figurent dans Sr ; ils disparaissent donc dans la différence Sr — Cr et l'on a

is, — a, ! <s;.-.;;

cette inégalité montre que 7,- a pour limite Sr quand n augmente indéfiniment, puisque, alors, le second membre tend vers zéro. Enfin, on a, toujours pour une raison de la même nature

d'où, en faisant croitre n indéfiniment

et par suite

P= I +Sj + S, + ... + S,, -h ....

125. — On peut encore, pour transformer en série convergente le produit infini

n = oD

employer la méthode expliquée au n° 89 pour déduire d'une suite P], Pj, — Pn, ... une série dans laquelle la somme des n premiers termes soit P„ : on partira de l'identité

où l'on regardera P„ comme le produit des n premiers facteurs du produit P, et, par conséquent, P, comme égal à i -h Ui, P„^i comme égal à P„ (i -t- u„) ; on en déduit

I H- «1 H- Pj^a -h P3W3 -+-...-}- P„«,i,

et l'on voit que P„^ 1 a, ou non, une limite pour n infini, suivant que la série

I H- », -i- PgHj -H ... 4- P,iM„ H- ...

est, ou non, convergente. La somme de la série, si elle est convergente, est égale à P.

126. — L'identité précédente, si simple qu'elle soit, mérite de nous arrêter un instant : si Ton y change, pour la commodité de ce qui va suivre, a,, u,, ..., Un en ^„, |3n— 1, ..., /3i et si l'on divise par le produit (i h- p,) (i -h j^^) ... (i + /3a), il vient :

Cette identité met en évidence le théorème suivant ; la série

^ (l + ji0(I + p,)... (I-hM'

CIIAPITUE Iir. PRODUITS INFINtS 1^3

OÙ l'on suppose l^n ^ o, quel que soit /?, est toujours convergente ; elle a pour somme

quand la série ^ [j,, est couA^ergente ; Quand cette dernière série

est divergente, la série(|'3)a pour somme l'unité, puisque, alors, le produit

augmente indéfiniment avec n.

Quand on se donne une série convergente iii + «^ "*" •••> à termes positifs, dont la somme est inférieure à i , on peut toujours la mettre sous la forme (p) ; il suffira en effet de poser

L'identité (i) donne de suite

d'où l'on conclut

et il est clair que l'on aura |5„ >• o.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que la même identité (i) fournit la solution de cette question, dont on voit de suite qu'elle ne peut admettre qu'une solution : former ime série à termes positifs, dont la somme est donnée, et dans laquelle le rapport du n^ terme Un, au reste R„ de la série limitée à ce terme soit un nombre donné positif j'S,, ; lorsque la somme donnée est i , ce que l'on peut toujours supposer, quitte à diviser chaque terme par la somme de la série, on voit de suite que la solution de la question posée est fournie par la série (^S), quand la série dont le if terme est .Snest

ly/i INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

divergente. Le problème n'est d'ailleurs possible que dans ce cas. Il en résulte que, si la série (à termes positifs) dont le n" terme est a^

est convergente, la série dont le n" terme est ^ est divergente.

L'identité (i], quand on y change |S„ en — a,,, prend la forme

(Ip ^^ | . h ^ j '^

^I— aj ^i aj)(i— a,) ••• (i « J(i — aj ... (i — a„)

^l — aj (I — aj ... (I — a„)

Bornons-nous au cas où l'on a, quelque soit n, o < a„ < i ; on voit, d'après cette identité, que la série

est convergente ou divergente en même temps que le produit in-

fini I I (i — ^-«)' ^^^ ^P^® ^^ série à termes positifs 7 a,î.

Les termes de cette dernière série sont respectivement plus petits que ceux de la série (a) : il est d'ailleurs bien clair que, si l'on se donne les termes de l'une des séries, les termes de l'autre sont déterminés par là même ; au reste si l'on désigne par iin le n" termes de la série (a), l'identité (II) fournit, comme tout à l'heure, la relation

Ainsi les deux séries à termes positifs

„ai^ -czaa 1 -)- U j -p Uj -"T . • . -T

sont en même temps convergentes ou divergentes.