CHAPITRE III. RKGI-ES DE CO?fVERGENCE Iy

la série à termes positifs ou nuls formes par les valeurs absolues de ses termes est convergente. Le problème revient donc à distinguer la convergence ou la divergence d'une série à termes positifs ou nuls; on peut dire aussi bien « d'une série à termes positifs », car il est clair qu'on peut supprimer les termes nuls. II a pu être avantageux, dans ce qui précède, de ne pas exclure la possibilité de termes nuls ; mais cette possibilité, comme le lecteur le reconnaîtra lui-même, compliquerait l'énoncé de plusieurs des règles relatives à la convergence ou à la divergence : il est entendu que dans les numéros consacrés à l'étude de ces règles, quand on parlera de séries à termes positifs, ces séries n'admettront pas de termes nuls.

Il convient encore de remarquer que lorsqu'on a la A-aleur ou une limite supérieure (au sens de la théorie des erreurs) de la valeur d'une série à termes positifs, on a, par cela même, une limite supérieure de la valeur absolue de toute série formée de termes dont les valeurs absolues seraient respectivement égales, ou inférieures, aux termes de la série considérée. Cette remarque s'applique eu particulier au reste d'une série absolument convergente. L'évaluation même grossière, du reste d'une série renseigne sur la façon plus ou moins rapide dont il tend vers o, quand on prend de plus en plus de termes, c'est-à-dire de la façon plus ou moins rapide dont la série converge : d'un autre côté, cette évaluation est très utile pour les calculs numériques, puisqu'elle fournit une limite de l'erreur que l'on commet lorsqu'on prend pour valeur de la série la somme des n premiers termes (').

(') Le calcul d'un nombre, au moyen d'une série convergente dont la somme est égale à ce nombre, est une opération très fréquente, sur lacruelle il convient de dire quelques mots. Dans les séries qu'on emploie pour cet usage, le reste est haljitucllement du même ordre de petitesse c|ue le premier terme négligé et les termes de la série vont on décroissant assez rapidement.

Dans ces conditions, le procédé que l'on recommande habituellement pour calculer, par exemple, la somme de la série u, -H u^ + "-^ + ■•• a^ecp chiflres décimaux, consiste à calculer les valeurs des termes U[, uo, ti.j, ... avec p ^ q chiffres décimaux, à • près ou à - près; on calcule les termes, insnu'au terme

u„ ^ j qui, calculé avec cette même approximation, ne fournit plus que des zéros. Désignons alors la valeur aljsolue du reste par ; si l'on a une éva-

Un premier procédé, celui d'où dérivent presque tous les autres consiste à comparer la série proposée

(y) Vi -^ v^ -\- ... -^ V,, -\- ...

à une série

dont on connaît le caractère.

Je suppose les deux séries à termes positifs : si la série (m) est convergente et que les termes de la série (u) ne dépassent pas les termes correspondants de la série {«), il est clair que la série (u) est convergente ; de même si la série (u) est divergente et si les termes delà série [v] sont égaux ou supérieurs aux termes correspondants de la série (u), la série (v) est divergente. Ces conclusions subsistent pourvu que les circonstances que l'on a décrites se présentent à partir d'un certain terme, puisque pour ce qui concerne la con-

luation de ce reste, on pourra calculer grossièrement une valeur approchée de a par excès.

La somme des valeurs approchées de Uj, uo, ..., Un représentera la somme de la série avec une erreur moindre que

suivant qu'on a dirigé le calcul d'une façon ou d'une autre ; pour qiie, dans le

premier cas, par exemple, l'erreur soit moindre que — , il suffira que a -\- n

soit moindre que 10' ; on voit que, si l'on ne cherche pas une très grande approximation, en sorte quon ne soit ])as obligé de calculer un grand nombre de termes, il suffira bien souvent de prendre g = 2 ; il faudrait en effet pour que

l'erreur commise fui plus grande que -' , que n -\- a fût supérieur à 100. Il

est, en tout cas, assez naturel de commencer les calculs ainsi, sans même se préoccuper du reste, quitte, si l'on a quelques doutes sur la valeur de T'approximation, à s'assurer, par l'étude de ce reste, qu'on a atteint le degré d'approximation que l'on désire.

Supposons par exemple qu'on veuille calculer avec une erreur moindre que

la somme de la série.

^ 1 ^ I. 2 ^ I. 2. 3 ^ I. 2. 3. 4 ^ ••■' Calculons les termes de manière à commettre sur chacun d'eux une erreur

CHAl'lTlUi 111. IlEGLES DE GO>iVERGENCE

vergence ou la divergence, on peut l'aire abstraclion des premiers termes.

Si, par exemple, on prend pour la série (a) la progression géom.étrique

K -f- K^' H- ... -h Iv" ^ ...,

la série [v) est convergente si l'on a pour toutes les valeurs de n, à partir d'un certain rang

moindre que - — - ; on trouvera, en réunissant les trois premiers, qui se calculent exactement

0,166(1667 o,o-'i 16667 o, 0083333 0,0013889 0,0001984 0,0000248 0,0000028 o,oooooo3

2,7182819 Le terme qui suit le dernier calculé serait