II

Il n'y a que huit termes entachés d'erreur ; l'erreur qui proA'ient de ce fait

est moindre que —-^ , l'erreur provenant du reste est vraisemhlablement du ^ 10" •

même ordre que — • ; on verra par la règle donnée au n° 95, que le reste est

moindre ï . — <" -^ ; l'erreur commise est sûrement moindre

que -^ : le nombre cherché est compris entre 2,7182814 et 2,7182824 : si l'on

prend la valeur 2,71828, on est certain, par la façon même dont les calculs ont été conduits, d'une part que l'erreur commise est non seulement moindre que

— î- mais même que — — et, d'autre part, que tous les chiffres conservés apiQà ^ 2.10°

partiennent à la représentation décimale de la somme de la série.

Lorsqu'on veut avoir une très grande approximation, ou que l'on a affaire à une série peu convergente, il peut être avantageux de commencer par l'examen préalable du reste, si l'on en a quelque expression facile k calculer grossièrement, et la détermination du nombre n de termes qu'il convient do calculer, comme du nombre de chiffres décimaux qu'il convient de conserver dans ces termes.

Tansery I — Intro ludion à la théorie des fonctions 12

nS INTRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIONS

K étant un nombre plus petit que un, puisque, alors, la progression géométrique est une série convergente. Le reste de la série (u),

K" + ' bornée au terme v,i est alors au plus égal à .^ .

Au contraire si l'on a, pour toutes les valeurs de Ji, k partir d'un certain rang

VVn ^ K,

K étant un nombre égal ou supérieur à un, la série (u) est divergente, puisque, alors, la progression géométrique est une série divergente; d'ailleurs dans ce cas v^ ne tend pas vers o.

Il n'est pas inutile de remarquer, pour l'application de ce critère de convergence, d'une part, qu'il ne suppose nullement qu'on ait supprimé de la série les termes nuls, s'il y en a, d'autre part que, au lieu de considérer v/t'„, on pourrait, tout aussi bien, en désignant par p un nombre naturel fixe, considérer l'expression

ou ,/v,

en effet, en plaçant p termes quelconques avant le premier terme de la série (v), on aura une seconde série qui sera convergente en même temps que la première et dans laquelle Vn est le terme de rang n -^ p; si l'on applique le critère à cette seconde série,

c'est l'expression * / r„ que l'on a à considérer. De même on

pourrait, sans changer la convergence ou la divergence de la série proposée, supprimer/) termes au commencement.

La règle précédente s'applique en particulier lorque \/v„ tend vers une limite / pour n infini ; si cette limite est un nombre plus petit que i , les valeurs de (/y» finissent par rester au-dessous de tel nombre K que l'on voudra, compris entre /et i, et par conséquent la série est convergente ; si / est plus grand que i, la série est divergente ; il y a doute si / == i, sauf dans le cas où /u„ reste, à partir d'une certaine valeur de n, égale ou supérieure à i, auquel cas la série (u) est divergente.

Soit, par exemple, ai, a^, ..., an, ... une suite de nombres tous différents de zéro, tels que l'on ait lim. | a„ | = + co , la série

rpTl

a, ar.