PR] = [PQ] + [QR

Il est aisé de voir que cette égalité subsiste dans tous les cas. En elTet, le nombre qui mesure im segment est plus grand que tout nombre rationnel qui mesure un segment plus petit que lui et •commensurable à l'unité ; il est au contraire plus petit que tout nombre rationnel qui mesure un segment plus grand que lui et ■commensurable à l'unité. Or, le segment PR est plus grand que la somme de deux segments plus petits respectivement que PQ et 'QR, plus petit que la somme de deux segments respectivement plus grands que PQ et QR ; donc [PR] est plus grand que la somme de 'deux nombres rationnels quelconques plus petits respectivement

28 lATRODUCTlO.X A LA THÉORIE DES FOINCTIONS

que [PQ], [QR] et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que [PQ], [QR]-

Il résulte de là, comme on sait, que, si l'on considère un axe X'X, sur lequel on a pris un sens positif, et si l'on désigne par

Fig. 4.

ÀB le nombre qui serait l'abscisse du point B si l'on prenait A pour origine, on a, quelle que soit la disposition des points A, B, C^

AC = ÂB -H BC.

23. — Les détails dans lesquels je suis entré pour la théorie de l'addition me permettent d'aller un peu plus vite pour la multiplication.

Soient A, B deux nombres positifs ; le produit AB de ces deux nombres est, par définition, un nombre plus grand que le produit de deux nombres rationnels positifs quelconques respectivement plus petits que A, B et plus petit que le produit de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que A, B.

Cette double condition définit un nombre unique. Considérons en effet l'ensemble (E) des nombres distincts que l'on peut obtenir en multipliant deux nombres rationnels positifs a, /> respectivement plus petits que A, B, et l'ensemble (E') des nombres rationnels distincts que l'on peut obtenir en multipliant deux nombres a, b'' respectivement plus grands que A, B.

Tout nombre de (E) ou de (E') est rationnel. La classe inférieure du nombre cherché, s'il existe, doit contenir tous les nombres de (E) ; sa classe supérieure, tous les nombres de (E') ; tout nombre de (E) est inférieur à tout nombre de (E') ; il y a dans E et dans E' desnorabres dont la difTérence est moindre que le nombre rationnel c ; en effet, si l'on a

on en déduit, en supposant les nombres rationnels et positifs a, [i plus petits que le nombre rationnel positif y, plus petit lui-même que I,

a'h' — «6 = a^ + 6a -h ap < Y (a -h t -h i)< Y P,

CIIM-nUK I. NOMliUES IIU( A TIONMÔf,» 'M)

OÙ P clcsif^nc iiii nombre rationnel oblenii en ajonlanl l'unilé ;i la somme de deux, nombres l'alionncls rcspeclivcmenl pbis grands

que A cl n ; il sulïîra donc de prendre y < p . Les deux ensembles

(E), (E') satisfont aux conditions spécifiées au n" 17 ; ils définissent un nombre irrationnel ou rationnel plus grand que tous les nombres de (E), plus petit que tous les nombres de ( E'), c'est le produit AI3.

La classe inférieure relative à AH est formée des nom])res de (E), auxquels on adjoindra toutefois o et les nombres rationnels négatifs ; la classe supérieure relative à yVB est formée des nombres deE'.

Considérons en effet l'ensemble (E) et les nombres positifs de la classe inférieure relative à AI) ; cbaque nombre de l'ensemble E est l'un de ces nombres positifs ; l'un quelconque m de ces nombres positifs, plus petits que AB, est égal ou inférieur à un nombre de l'ensemble (E), c'est-à-dire au produit de deux nombres positifs a, b respectivement plus petits que A, B; on a alors m ^ab, et le nombre m est le produit des deux nombres a et

— ^ 6, qui sont respectivement plus petits que A, B ; donc m est un nombre de(E). On voit de même que l'ensemble (E') coïncide avec la classe supérieure relative à AB. On a

(i) AB = BA.

Le produit de trois nombres positifs A, B, G s'obtient en multipliant par le troisième G le produit AB des deux premiers. La classe inférieure relative au produit (AB)G est formée des nombres négatifs, de zéro, et des nombres obtenus en multipliant trois nombres positifs appartenant respectivement aux classes inférieures relatives aux nombres A, B, G ; la classe supérieure relative au produit (AB) G est formée des nombres obtenus en multipliant trois nombres appartenant respectivement aux classes supérieures relatives à A, B, G. Geci s'étend sans peine au produit de quatre, cinq,... facteurs. On a