CHAPITRE Hr. — RÈGLKS DE COVEUOENCE

est absolumonl convergente quel que soit x ; en cfTet la racine n" de la valeur absolue du n" terme est — , dont la limite pour

n infini est évidemment zéro.

Considérons encore la série dont le n" terme est r/^^z-", en désignant par q un nombre positif, plus petit que i, et par z un nombre quelconque : la racine n" de ce terme est q"z^ ; elle tend vers o quand n augmente indéfiniment : la série est convergente quel que soit z.

Il en est évidemment de même, pour toutes les valeurs de z autres que o, de la série

n =: -|- co n = co

qui joue un rôle important dans la théorie des fonctions elliptiques.

128. — La règle précédente fournit un résultat intéressant concernant la convergence ou la divergence des séries de la forme

sur lesquelles nous aurons à revenir : je suppose, pour le moment, que flo» ^1» •••' ^«' ••• soient des nombres positifs ('), ainsi que x, qu'on regardera dans ce qui suit comme un nombre fixe. En laissant de côté, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut, le terme a^^, on est amené à étudier l'expression v/a„a;" =: x /a„. Si l'on a

lim. \5' a„ = l,

on aura '

lim. ya,iX" = Ix,

et, par suite, la série (a) sera convergente pour les valeurs de x moindres que -7 , divergente pour les valeurs de x plus grandes que j; il y aura doute pour x r= j.

(') Rien n'empêche clans les raisonnements qui suivent de supposer que quelques uns de ces nombres, en nombre fini ou infini, soient nuls.

l80 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Ce résultat toutefois, suppose l'existence d'une limite pour y^

Supposons seulement que la suite dont le )t terme est \l a^ soit bornée en haut et désignons par L la plus grande de ses limites (/i° 64). La série (a) est convergente pour les valeurs de x inférieures à -j-, divergente pour les valeurs de x supérieures à -p •

En effet, si i est un nombre positif quelconque, on sait que, parmi les nombres de la forme ^ a,,, il n'y en a qu'un nombre fini qui soient supérieurs ou égaux à L + s ; pour les valeurs de n supérieures à un nombre positif p suffisamment grand, on aura

Si donc on prend x inférieur a i , \/ cinX'^ sera, pour les valeurs

de n plus grandes queyj, moindre que j- <; i, et, par suite la

série (a) sera convergente. Si maintenant on suppose seulement X <^ y, il suffira de prendre £ <C -, pour être assuré que

X est moindre que -, — ; — , la convergence est encore assurée.

Au contraire si £ est un nombre positif plus petit que L, il y aura une infinité de nombres de la forme y/a,, qui seront plus grands

que L — c ; si donc on prend x plus grand que . , il y aura

une infinité de nombres de la forme y/ o„.t" qui seront plus grands que I ; il y aura donc dans la série (a) une infinité de termes plus grands que i ; elle sera diA^ergente. Il en est de même, pourvu que

X soit plus grand que t- . Pour x ^= ^ , on ne sait pas si la série

est convergente ou divergente.

Si L était nul, la série (a) serait convergente pour toutes les

valeurs dex : c'est ce qui arrive pour la série 2, q'^^x^", étudiée

plus haut, lorsque le nombre positif q est plus petit que i.

Si enfin L n'existe pas, c'est-à-dire si l'ensemble des nombres distincts de la forme /«„ n'est pas borné en haut, le même mode de raisonnement montre que la série (a) est divergente quel que soit

CHAPITHE III. RÈGLES DE CONVERGfJ^CE l8l

le nombre positif x. En circt si A est un noiTnbre positif quelconque, il y a alors une infinité de nombres de la forme '/«„ qui sont plus grands que A, et par suite une infinité de nombres de la forme y a,flsP- qui sont plus grands que kx ; si donc on prend A plus grand que - , on voit qu'il y a dans la série (a) une infinité de termes plus grands que i : la série est divergente.

On voit donc qu'à.la suite des nombres positifs a,,, a,, ..., a„, ... est attaché un nombre R qu'on prendra ég'al à o, dans le cas où la suite dont le rf terme est ^a„ n'est pas bornée en haut, qu'on prendra égal à pquand cette suite admet une plus grande limite différente de o, qu'on regardera comme infini quand cette plus grande limite est nulle et qui jouit de la propriété suivante : la série a^ -f- a^x -h ... H- anxJ^ H- ... est divergente pour a; > R et convergente pour a? "< R. Naturellement il faut entendre, quand R est infi^ni, que la série est toujours convergente ; quand R est nul, qu'elle n'est convergente pour aucune valeur positive de x.

La détermination précise du nombre R que l'on vient de donner est due à Cauchy (^) ; mais son existence apparaît immédiatement en observant que si la série (a) est convergente pour une valeur de x, elle reste convergente quand on remplace x par un nombre (positif) plus petit, puisque chaque terme est remplacé par un terme plus petit ; de même si elle est divergente pour une valeur de x elle est divergente pour les valeurs plus grandes ; dès lors si l'on écarte le cas où la série n'est convergente pour aucune valeur positive de x, et celui où elle est convergente pour toutes les valeurs positives de a;, il faut qu'il y ait des valeurs positives de X pour lesquelles elle est convergente, et des valeurs pour lesquelles elle est divergente : soit (E) l'ensemble des premières valeurs, (E') l'ensemble des secondes. Un nombre positif quelconque appartient nécessairement à l'un ou à l'autre ensemble, chaque nombre du premier ensemble est plus petit que chaque nombre du second. Ces deux ensembles définissent un nombre R qui est la borne supérieure de (E), la borne intérieure de (E'). Tout nombre positif x, plus petit que R appartient au premier

(i) Elle est restée longtemps oubliée ; I\I. Hadaïiard, qui l'a retrouvée de son côté, en a montré l'importance et en a tiré de nombreuses conséquences.

l82 IT^TRODUCTION A LA. THÉORIE DES FONCTIOTsS

ensemble, tout nombre plus grand que R , appartient au second. Pour £C = R, la série est convergente ou divergente suivant que R appartient au premier ou au second ensemble.

129. — Ce raisonnement toutefois ne met pas en évidence, comme le précédent, ce fait que pour une valeur de x supérieure à R, il y a dans la série (a) une infinité de termes plus grands que i . Ce point, dont on va voir l'importance, résulte au contraire d'une remarque très simple due à Abel, qui a montré le premier le caractère des séries qui nous occupent : voici cette remarque. Admettons qu'il y ait un nombre positif X pour lequel l'ensemble des nombres a„X" soit borné en haut ; la série (a) est convergente pour toute valeur positive de x moindre que X ; en effet pour une telle valeur de £C, la série

^ -^ X -+- (xj + - + (x

en convergente ; elle reste convergente, si on multiplie le {n -f- i)^ terme par le nombre positif a„X" qui, par hypothèse, est moindre qu'un nombre positif fixe ; or, on reproduit ainsi la série (a).

Le nombre R apparaît alors comme la borne supérieure de l'ensemble des nombres positifs X tels que l'ensemble des nombres a„X" soit borné en haut. Pour une valeur de X supérieure à R, l'ensemble des nombres a;,X" n'est pas borné en haut : il y a donc une infinité de termes de la série (a) qui dépassent tel nombre positif que l'on voudra.

Si, maintenant, on ne suppose plus que les nombres «o' ct^, a^, .... a„, ... soient positifs, non plus que x, et si l'on désigne par R le nombre, dont on vient de prouver l'existence, pour la série à termes positifs (ou nuls)

a^ + Oj œ' -h . . . H- a,' x''» M- ....

où a[, a\, ...,an, ..., x sous les valeurs absolues de Oo» a^, .., an, ..., X, on voit de suite que, pour les nombres x tels que l'on ait I £c j <C R, la série

est absolument convergente, qu'elle n'est pas convergente (absolument ou non) pour les valeurs de x, telles que l'on ait ] a? ] > R,

CIIAl'ITIŒ ]lî. nÈriLES 1)E CO^VEROENCE 1 8.')

puisqu'il y a alors dans la série (a), une inlinilc de Icnncs plus grands que i en valeur absolue. Pour ce = R la série (a) peut être divergente ou convergente (absolument ou non).