La comparaison d'une série à termes positifs
dont on veut reconnaître la convergence ou la divergence à une autre série à termes positifs
(u) fij 4- ff. H- ... H- ih, -h ...,
dont on connaît le caractère, peut se faire en considérant le rapport — de deux termes de même rang.
Supposons que ce rapport reste, à partir d'une certaine valeur de n, compris entre deux nombres positifs (non nuls) a et 6 (a <C ^). On peut affirmer alors que les deux séries sont, en même temps, convergentes ou divergentes. Il suffît, pour s'en convaincre, de comparer la série (u) aux deux séries obtenues en multipliant tous les termes de la série [u) soit par a, soit par 6 ; les termes de la série (y), à partir d'un certain rang sont inférieurs aux termes de la série (a) multipliés par h ; si la série (u) est convergente, la série (u) l'est aussi. Dans ce cas le reste de la série (y) est inférieur au reste de la série («), multiplié par b, pourvu qu'on s'arrête à un terme à partir duquell'hypothèse relative au rapport se trouve vérifiée. Les termes de la série (v) sont supérieurs aux termes de la série (u), multipliés par a : si la série (u) est divergente, il en est de même de la série [v) .
On peut encore affirmer la convergence de la série {v) quand la
Vn
série (u) est convergente et que le rapport — , à partir d'un certain
lin
rang, reste inférieur à un nombre fixe, ou la divergence de la série {v) quand la série {u) est divergente, et que le rapport
— à partir d'un certain rang, reste supérieur à un nombre fixe, ii„
positif (non nul).
Ces remarques s'appliquent en particulier lorsque le rapport —
l84 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
a une limite / pour n infini : si / en différent de zéro, et si on désigne par c un nombre positif plus petit que /, on peut lui faire
correspondre un nombre naturel p, à partir duquel le rapport —
reste compris entre les deux nombres positifs, non nuls, / — £ et / -h c : dans ce cas les deux séries sont convergentes et divergentes en même temps ; si l'on a
lini. '^.'^ —- Q
on peut affirmer la convergence de la série (v), quand la série («) est convergente : enfin si l'on a
Uni. ^^1 ^ ^ 00 ^
n = co llji
on peut affirmer la divergence de la série {v) quand la série (ii) est divergente.
Prenons par exemple pour la série (u) une série dans le if terme soit une fonction rationnelle ç (n) den. Ce n" terme ne peut tendre vers G, quand n croît indéfiniment que si le dénominateur de la fraction est de degré supérieiu" au numérateur : supposons que la différence des deux degrés soit p. On sait c[ue l'on a
lim. ?(") ^ A.
(l — oo II''
en désignant par A le quotient des coefficients des termes du plus haut degré dans le numérateur et le dénominateur de o (n).
On conclut delà que la série dont le n^ terme est o (n), série dont les termes finissent par être tous du même signe, est convergente ou divergente en même temps que la série dont le n" terme est n — p; elle converge si p est plus grand que i, diverge si p est égal à I .
On doit toutefois supposer que le numérateur de ç- (n) ne s'annule pour aucune valeur entière et positive de /?.
En supposant que p soit plus grand c[ue i et en désignant par aj, ., a.,, ..., (y,H, ... des nombres dont la valeur absolue reste inférieure à un nombre positif fixe, on voit que la série
aio(i) -H a^o(2) 4 ... + 'J-n^ (") 4- •••
est absolument convergente.
CIIAIMTUE III. U1:;GLES DE CONVEUGENCE lOiJ
Il y a lieu de remarquer que, si les termes de la série [v] vont en décroissant, la série (/') ne peut être convergente que si nv,, a pour limite o, quand /( croît indéfiniment ('). Pour le voir il reste à démontrer que la série (o) est divergente lorsque /îr„ n'a pas de limite pour n inlinl. De la supposition que l'on n"a pas lim ni\^ = o,
résulte l'existence dun nombre positif a, tel que l'on ait nvn ^ a, pour une valeur convenablement choisie de n, plus grande que tel nombre positif p que l'on voudra (n^ 53).
Ainsi, partant d'un nombre naturel a tel que l'on ait a v^ >>a, on peut en trouver un 1^ plus grand que a et que tel autre nombre qu'on voudra, pour lequel on aura jjTo > a, puis un autre y plus grand que j3, et que tel autre nombre qu'on voudra, pour lequel on aura yry >a, etc. On ne sera jamais arrêté; or la somme des termes consécutifs de la série v qui commencera à v^ et dont le dernier serait i'v i est supérieure (n° 97) à
et par conséquent au produit par a de
or ce dernier nombre peut être supposé aussi grand qu'on le veut : si l'on suppose par exemple j5 > 2 a, y >■ 2 |j, . . . , v >> 2 a, chaque
terme est plus grand que 7, et il y a autant de termes qu'on veut.
Le fait que les deux séries à termes positifs
cil l'on suppose s„ =^ ii^ -+- u, -\- ... -+- a,„ étaient convergentes ou divergentes en même temps, a été établi au n° 126 (■). On peut
(1) E. BoREL. — Leçons sur les fojictions entières, p. 17.
(-) La seconde série dans le n° 126, était > — ^ ; mais la modification
l86 INTRODUCTION A LA. THEORIE DES FONCTIONS
évidemment le rattacher aux propositions précédentes, loi'sque la première série, que je désignerai sous le nom de série (u) est convergente ; il est clair eu effet que le rapport du n" terme de la
seconde série au n" terme de la série (ii) a pour limite -, en désignant par s la somme de la série («) ; la seconde série est donc convergente ; au reste, il suffirait de remarquer que les termes de la seconde série sont plus petits que les termes de la première divisés par Uj .
Dans le cas où la série («) est divergente, la divergence de la seconde série apparaît directement comme il suit : puisque les sommes s„, 5^+ i, Sn + 2, ••• vont en augmentant, il est clair que la somme des p termes qui, dans la seconde série, suivent le n°, à savoir
Sn + 1 S„ j, 2
est supérieure à
-^ fl„ + 2 -+- ••• -
Sn + p
or, la première série étant divergente, on peut, lorsque l'on se donne n, choisir p assez grand pour que — '— soit plus petit que tel
nombre positif que l'on voudra, que - par exemple ; on peut donc trouver dans la seconde série, après un terme quelconque, des termes dont la somme dépasse - , après le dernier de ces termes,
des termes dont la somme dépasse -, etc..
Â.bel, à qui sont dues ces remarques si simples, a montré en outre, en supposant divergente la série (ii), que la série
OÙ a est nombre positif, est convergente.
est évidemment insignifiante, puisque le rapport — -*- de deux termes de
1+^,1 même rang a une limite positive, soit que Sn tende vers une limite, soit que l'on ait lim s„ = -f- ce .
