CHAPITRE III. UÈGLES UE CONVKUGENGE

Celle proposilion résulte aisément, comme on \a le vfjir, do

l 'inégalité

— >■ I H- mx,

OÙ m désigne un nombre positif quelconque et x un nombre positif plus petit quel : cette inégalité sera établie plus tard (n"' 133, 188). Elle entraîne les suivantes

^ '^ ^^ I au„

d'où l'on conclut

Ml U.

^,+aH gi+a 1 •

et cette dernière inégalité met en évidence la convergence de la série proposée.

Si l'on supposait a négatif, il est clair que la série considérée serait divergente, puisque ses termes seraient plus grands que ceux

delà série dont le n" terme est— , série dont on sait qu'elle est

divergente.

En appliquant ces résultats au cas où l'on aurait w„ = i, on retrouve les propositions établies au n° 96. En les appliquant au

cas où l'on aurait ii,, :^ - , on voit que la série dont le n" terme

est — j-qrâ , ou 1 on suppose

ns„

est convergente si a est positif, divergente si a est nul ou négatif; en partant de la série divergente donc le if terme est — , on

nSn

l88 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

pourra obtenir par le même procédé une série dont le n" terme sera

où ^V sera la somme des n premiers termes de la première série, et qui convergera si a est positif, qui divergera si a est négatif. Ce procédé peut être continué indéfiniment, et les séries successives auxquelles il donne naissance sont précieuses comme types de comparaison ; mais j'aurai plus tard l'occasion de mettre sous une forme plus simple les résultats auxquels il conduit.

131. — Revenons à la comparaison de la série à termes positifs

{v) Vj -h l'a -h •.. H- i'« -H •••

à la série, à termes aussi positifs

(u) Uy H- «2 + ••• + "'! -^ "•

et dont le caractère (de convergence ou de divergence) est supposé connu.

Si la série (u) est convergente et si l'on a, à partir d'un certain rang/),

1>n -\- 1 ^ ^JrJ V„ = U„

la série (u) est aussi convergente. Si la série («) est divergente et si l'on a, à partir d'un certain rang yj,

Vn ^ «« '

la série (u) est aussi divergente.

Ces propositions sont une conséquence immédiate de celles qu'on a établies au début du n" 130, en effet, dans le premier cas, par exemple, on doit avoir, pour n > jo,

^1l > ^'p + 1 > 'V + 2 > .. > !!iî

Up ~ «;j + 1 ~ "/^ + î ~ ~ "» V V

et l'inégalité -- < —, où le second membre est un nombre fixe.