CHAPITRE III. RÈGLES DE CONVERGENCE

suffit à prouver la convergence de la série (y) ; on voit aussi que le reste de cette série, quand on la limite au terme t',, i est au plus

égal à -- H,, i, en désignant par lip i, le reste de la série («),

limitée au ternie iii,- j.

Le raisonnement est le môme dans le second cas, si ce n'est qu'il n'y a pas lieu de parler du reste.

Si l'on prend pour la série (it) la série

où a est nombre positif, série convergente pour a <; i, divergente pour a> I, on obtient les conclusions suivantes.

Si pour n >p le rapport ' ^ reste constamment inférieur ou

égal à un nombre fixe a, plus petit que i, la série (i') est convergente ; son reste quand on la limite au terme i'„ (n > p) est au plus égal à

si, pour n >p, le rapport ~-àzl est constamment supérieur ou égal

à I , la série (u) est divergente. Gela est d'ailleurs évident, puisque, alors, les termes ne diminuent pas quand leur rang augmente.

Cette règle s'applique en particulier quand le rapport -^^^^

admet, pour n infini, une limite / ; quelque petit que soit le nombre positif c, ce rapport, pour des valeurs suffisamment grandes de /z, sera toujours compris entre / — ê et / 4- s ; si / est différent de i , on prendra s moindre que la valeur absolue de la différence i — /. Lorsque la limite est inférieure à i, les inégalités

Vn+i

Vn

qui auront lieu à partir d'un certain rang, montrent que la série ^v) est convergente. Si la limite est supérieui'e à i , les inégalités

igO OTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

prouvent que la série est divergente. Il y a doute si la limite en i, sauf dans le cas où le rapport est constamment supérieur ou égal à I, auquel cas la divergence est certaine. Si l'on appliquait cette règle à la série

(a) «0 + ai a? -h ... H- a„a?" H- ...,

oiî l'on suppose que les coefficients ag, aj, .-,a„, ... sont positifs, ainsi que le nombre x, on serait amené à considérer le rapport

supposons que l'on ait

lim. ^w+j

on voit que la série (a) est convergente pour les valeurs de x qui sont positives et plus petites que h, divergentes pour les valeurs de X qui sont plus grandes que h ; ces résultats sont conformes à ceux que l'on a obtenus au n° 129 ; mais il faut remarquer que,

ici, le raisonnement suppose l'existence d'une limite pour ""^ ^ •

Comme la série (a) ne peut pas être à la fois convergente et divergente, pour une même valeur de x^ il est clair que si les deux

quantités ?/~ , ""^ ^ ont des limites, ces deux limites sont égales.

Il n'est pas bien difficile d'ailleurs de montrer que l'existence de la seconde limite entraîne celle de la première.