Considérons, comme exemples, les séries

m[m — i) , in{m — i)...(m — zî H- i)

OÙ, pour la seconde, m est un nombre quelconque, le rapport du {il +1)'' terme au précèdent est - pour la première, x

CIIAI'ITUE III. REGLES DE COZ^VERGENCE I9I

ce pour la seconde ; quel que soit x, y^ a pour limite zéro quand n

augmente indéfiniment ; le rapport delà valeur absolue d'im terme delà série (i) à la valeur absolue du terme précédent, a donc aussi pour limite zéro ; la série (i) est absolument convergente, quelle que soit la valeur de x. C'est ce que l'on a déjà vu au n" 95 oii l'on a donné aussi l'expression du reste. Lorsque /i augmente indéfiniment, le rapport des valeurs absolues de deux termes consécutifs de la série (2) a pour limite j x | et par conséquent, lorsque x est compris entre — i et -i- i, la série (2) est absolument convergente ; lorsque la valeur absolue de x est supérieure à un, la série est divergente, puisque les termes ne tendent pas vers zéro, sauf Imtefois quand m est un nombre entier positif, car alors la série 'est limitée ; lorsque l'on ax = ± i, la série est divergente si m -h 1 est négatif ou nul, il y a doute si m -^- i est positif.

Une règle que l'on va donner tout à l'beure montre que dans ce cas (x = ± I , /?i H- I >> g) la série est absolument convergente si m est positif, divergente si m est négatif et si x est égal à — i ; enfin la règle du n° 137 permettra de reconnaître que dans le cas où l'on a £c= I, o >■ m >> I, la série est convergente sans l'être absolument.

On verra plus tard que la somme de cette série, quand elle est convergente, est égale à (i -+- x)"K

133. — En admettant cette dernière proposition, on voit que, si l'on remplace x par — x et m par — m dans l'égalité

I H- xY' = 1 -H - a- H ^ ' x^ H 5 x- -t- ....

elle devient

en supposant x et m positifs, tous les termes de la série qui figurent au second nombre sont positifs, il est clair que l'on a bien

7, > I + mx,

quand m est positif et que x est compris entre o et i, ainsi qu'on l'a dit au n° 131. La même proposition fournit une autre relation du même genre, dont je vais avoir besoin : elle se rapporte au cas où X est très petit en valeur absolue.

Si on limite la série (2) au second terme, on voit que son reste sera de la forme Ax^ en désignant par A la somme de la série

m{m — i) m(^m — i)(m — 2) m(in- — i)(m — 2) (m — 3) ^

convergente, comme la proposée, si l'on a \ x\ <; i ; en supposant 1 a; I <C a <C I et en désignant par p. la valeur absolue de m, il est clair que A sera moindre en valeur absolue que la somme B de la série

H-^t^+ 0 , liO^H^ilO^ -*~ 2) o . Kf^ H- i) ([^ -4- 2) ([^+3) I. 2 I. 2. O 1. 2. 0. 4

puisque, pour obtenir la série B, on a remplacé chaque terme de la série A par un terme positif, plus grand en valeur absolue. On peut donc poser

(i -^ x)'" =1-1- mx -+- Ax^,

en étant certain que si x est moindre en valeur absolue que a, la quantité A, qui dépend de x, sera moindre en valeur absolue que B.

On peut encore écrire

en désignant par |S = 77i -h Ax, un nombre dont on sait qu'il est -aussi voisin de m qu'on le veut, pourvu que x soit suffisamment petit en valeur absolue. C'est la relation que je voulais établir.

134. — On a vu que l'application à la série à ternies positifs

(v) fj + l'2 + ... 4- v„ -i- ....

du critère fourni par la limite du rapport — — - laissait un doute

quand cette limite était i et que le rapport finissait par être toujours inférieur à i.