CHAPITRE m. RÈGLES DE CONVERGENCE igS
Il est alors naturel de comparer la série (y) à une autre série à termes positifs
OÙ la même circonstance se présente^ et dont on sache si elle est convergente ou divergente.
Prenons, par exemple, pour la série (a) la série dont le n" terme
est —, en désignant par r un nombre positif. On a alors
n/ Il
en désignant par a,, un nombre dont on sait, par le numéro précédent, qu'il est aussi voisin de r que l'on veut, pourvu que n soit
assez grand.
En mettant le
rapport
sous
laf
'on
Vn f 1
on est conduit à la règle suivante.
Si, pour les valeurs de n suffisamment grandes jS,, reste plus grand qu'un nombre h plus grand que i, la série (r) est convergente, si au contraire, pour les valeurs de n suffisamment grandes 3,1 reste plus petit que i, la série (v) est divergente.
Je me borne au premier cas. On choisira r compris entre i et /i ; la série (a) est convergente ; puisque a„ est aussi voisin de r qu'on le veut, 7.n, pour des valeurs suffisamment grandes de n, est compris aussi entre i et h, en sorte que l'on a j^,, > a.n et par suite
Vn
la série (v) est convergente comme la série (u).
Cette règle est connue sous le nom de Raabe et Duhamel ; elle
Taxnery I — Introductioa à la théorie des fonctions 13
s'applique en particulier lorsque j6„ a, pour n infini, une limite différente de i .
